Контрольна робота з геометрії Варіант 1 1. Знайдіть: 1) внутрішній і центральний кут правильного 10- кутника; 2) кількість сторін правильного многокутника, якщо його зовнішній кут дорівнює 15°.
Дано: прямоугольник ABCD, P пр. ABCD = 32 см, AB больше AD на 4 см.
Найти: S пр. ABCD
Решение: S прямоугольника ABCD = AB*AD; P = AB + AD + BC +DC. Пусть, x - меньшая сторона, т. е. AD, тогда x + 4 - большая сторона, т.е. AB, а т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны, а P прямоугольника = 32, то следовательно составим уравнение:
( x + (x + 4))*2=32
2x + 2x + 8 = 32
4x = 32-8
x = 24/4
x = 6
т.к. x - AD, то AD = 6 см., а т.к. x +4 - AB, то AB = 6+4= 10 см.
Радиус r окружности, вписанной в основание пирамиды, равен половине стороны квадрата.
O1M = r = 22/2 = 11.
Центр сферы находится на прямой, проходящей через высоту пирамиды (это для правильной пирамиды).
Составит систему уравнений из треугольников, включающих R к стороне основания, и к боковому ребру.
Это соответственно треугольники OKS и OMS.
Обозначим отрезок О1О = х.
Для пирамиды с равными рёбрами угол наклона бокового ребра к основанию равен 45 градусов. Отсюда вывод: треугольник OKS – прямоугольный равнобедренный.
KS = kO = R = (ОО1 + Н)/√2 = (х + Н)/√2.
Высота Н = L*sin 45° = 22*(√2/2) = 11√2.
Тогда R = (х + 11√2)/√2. (1)
Из прямоугольного треугольника МОО1 получаем R² = 11² + x². (2)
Возведём уравнение (1) в квадрат.
{R² = ((ОО1 + Н)/ √2)² = ((х + 11√2)/ √2)² = (х² + 22√2*х + 242)/2. (3)
Приравняем правые части уравнений (2) и (3).
(х² + 22√2*х + 242)/2 = 121 + х²,
х² + 22√2*х + 242 = 242 + 2х2.
Приведя подобные, получаем х² - 22√2*х = 0 или х(х - 22√2) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 22√2.
Второе значение даёт точку касания боковых рёбер на длине, равной радиусу R = 33 от вершины, то есть за пределами пирамиды. Это решение отбрасываем.
ответ: R₁ = (0 + 11√2)/√2 = 11.
Дано: прямоугольник ABCD, P пр. ABCD = 32 см, AB больше AD на 4 см.
Найти: S пр. ABCD
Решение: S прямоугольника ABCD = AB*AD; P = AB + AD + BC +DC. Пусть, x - меньшая сторона, т. е. AD, тогда x + 4 - большая сторона, т.е. AB, а т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны, а P прямоугольника = 32, то следовательно составим уравнение:
( x + (x + 4))*2=32
2x + 2x + 8 = 32
4x = 32-8
x = 24/4
x = 6
т.к. x - AD, то AD = 6 см., а т.к. x +4 - AB, то AB = 6+4= 10 см.
S прямоугольника ABCD = AB*AD=10*6=60 см.
ответ: 60 см