Концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояния 3,7 м и 8,9 м. Найдите расстояние от середины М отрезка АВ до этой плоскости.

Для решения данной задачи следует знать, что центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Необходимо построить серединный перпендикуляр к каждой стороне треугольника (элементарная задача на построение: в концах отрезка проводим окружности с радиусом, равным данному отрезку, полученные 2 точки пересечения окружностей соединяем - так на каждой стороне треугольника).

Центр окружности будет находиться в точке пересечения данных серединных перпендикуляров, а радиус данной окружности можно построить, например, так - из центра окружности провести отрезок к вершине треугольника

Поскольку наклонные, являющиеся расстояниями от М до сторон тр-ка, одинаковые, то и проекции их на плоскость треугольника одинаковые и равны радиусу вписанной в треугольник окружности.

r = √((р - а)(р - в)(р - с)/р

Пусть а = 25, в = 39, с = 56, тогда полупериметр

р = 0,5·(25 + 39 + 56) = 0,5·120 = 60

r = √((60 - 25)(60 - 39)(60 - 56)/60) = √(35·21·4/60 = √49 = 7

Растояние Н от точки М до плоскости тр-ка, радиус r  вписанной окружности и любая из наклонных L = 25 образуют прямоугольный тр-к с гипотенузой L.

По теореме Пифагора найдём Н

Н² = L² - r² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576

Н = 24(см)