Даны вершины треугольника А(-2,0,1), В(8,-4,9), С(-1,2,3).
1) Находим длины сторон по разности координат точек.
АВ = √((8-(-2))² + ((-4-0)² + (9-1)²) = √(100 + 16 + 64) = √180 = 6√5.
BC = √((-1-8)² + ((2-(-4))² + (3-9)²) = √(81 + 36 + 36) = √153.
АC = √((-1-(-2))² + ((2-0)² + (3-1)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Далее по теореме косинусов определяем углы треугольника.
a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S
12,36931688 3 13,41640786 14,39286237 28,78572474 18
153 9 180
2,023545494 11,39286237 0,976454506 22,51115808 324 18
cos A = 0,447213595 cos B = 0,97618706 cos С = -0,242535625
Аrad = 1,107148718 Brad = 0,218668946 Сrad = 1,81577499
Аgr = 63,43494882 Bgr = 12,52880771 Сgr = 104,0362435.
Как видим - треугольник тупоугольный.
2) Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М = (А(-2,0,1) + С(-1,2,3))/2 = (-1,5; 1; 2).
Длина ВМ = √((-1,5-8)² + ((1-(-4))² + (2-9)²) = √(90,25 + 25 + 49) = √164,25 ≈ 12,81600562.
1) В ∆ АОВ стороны АО=ВО – радиусы.
∆ АОВ равнобедренный, ∠ОАВ=∠ОВА=80° ⇒ ∠АОВ= 180°-2•80°=20°
Полная окружность содержит 360° ⇒ дуга АСВ=360°-20°=340° и содержит 2а+3а= 5а частей.
а=340°:5=68°
Дуга АС=2•68°=136° Вписанный ∠АВС=136°:2=68°
Дуга ВС=3•68°=204° Вписанный ∠ВАС=102°
Вписанный ∠АСВ равен половине центрального АОВ и равен 10°.
ответ: ∠АВС=68°
∠ВАС=102°
∠АСВ = 10°.
* * *
В ∆ АВС ∠АВС=80° равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой АС.
Дуга АС=2•80°=160°
Тогда дуга АВС=360°-160°=200° и содержит 5а частей.
а=200°:5=40°
Дуга ВС=3•40°=120° ⇒Вписанный ∠ВАС=120°:2=60°
Дуга АВ=2•40°=80°. ⇒ Вписанный ∠АСВ=80°:2=40°
В ∆ АОВ центральный ∠АОВ опирается на дугу АВ и равен 80°.
∆ АОВ равнобедренный, углы при основании равны (180°-80°):2=50°
ответ: 50°, 50°, 80°.
Даны вершины треугольника А(-2,0,1), В(8,-4,9), С(-1,2,3).
1) Находим длины сторон по разности координат точек.
АВ = √((8-(-2))² + ((-4-0)² + (9-1)²) = √(100 + 16 + 64) = √180 = 6√5.
BC = √((-1-8)² + ((2-(-4))² + (3-9)²) = √(81 + 36 + 36) = √153.
АC = √((-1-(-2))² + ((2-0)² + (3-1)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Далее по теореме косинусов определяем углы треугольника.
a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S
12,36931688 3 13,41640786 14,39286237 28,78572474 18
153 9 180
2,023545494 11,39286237 0,976454506 22,51115808 324 18
cos A = 0,447213595 cos B = 0,97618706 cos С = -0,242535625
Аrad = 1,107148718 Brad = 0,218668946 Сrad = 1,81577499
Аgr = 63,43494882 Bgr = 12,52880771 Сgr = 104,0362435.
Как видим - треугольник тупоугольный.
2) Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М = (А(-2,0,1) + С(-1,2,3))/2 = (-1,5; 1; 2).
Длина ВМ = √((-1,5-8)² + ((1-(-4))² + (2-9)²) = √(90,25 + 25 + 49) = √164,25 ≈ 12,81600562.
1) В ∆ АОВ стороны АО=ВО – радиусы.
∆ АОВ равнобедренный, ∠ОАВ=∠ОВА=80° ⇒ ∠АОВ= 180°-2•80°=20°
Полная окружность содержит 360° ⇒ дуга АСВ=360°-20°=340° и содержит 2а+3а= 5а частей.
а=340°:5=68°
Дуга АС=2•68°=136° Вписанный ∠АВС=136°:2=68°
Дуга ВС=3•68°=204° Вписанный ∠ВАС=102°
Вписанный ∠АСВ равен половине центрального АОВ и равен 10°.
ответ: ∠АВС=68°
∠ВАС=102°
∠АСВ = 10°.
* * *
В ∆ АВС ∠АВС=80° равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой АС.
Дуга АС=2•80°=160°
Тогда дуга АВС=360°-160°=200° и содержит 5а частей.
а=200°:5=40°
Дуга ВС=3•40°=120° ⇒Вписанный ∠ВАС=120°:2=60°
Дуга АВ=2•40°=80°. ⇒ Вписанный ∠АСВ=80°:2=40°
В ∆ АОВ центральный ∠АОВ опирается на дугу АВ и равен 80°.
∆ АОВ равнобедренный, углы при основании равны (180°-80°):2=50°
ответ: 50°, 50°, 80°.