Заметим что по теореме синусов: m/sina=AC/sinB=AC/sinD sinB=sinD То есть возможно 2 варианта: 1) ΔB=ΔD; 2)ΔB=180-ΔD; Положим что : ΔB=ΔD Тогда из соображений постоянства суммы углов треугольника: ΔBCA=ΔACD. Отсюда следует что треугольники BCA и ACD равны по стороне и двум прилежащим углам. Но тогда AB=AD,что противоречит условию. А значит :ΔB+ΔD=180. А это значит что около 4-угольника ABCD можно описать окружность. (Окружность нарисована схематически замкнутой линией) . А отсюда в свою очередь выходит что ΔС=180-45=135 Откуда: ΔСBD=ΔСDB=45/2; То опустив медиану с C на BD (она же и высота) Очевидно что BD=2*m*cos(45/2) Ну и наконец самое интересное: Запишем теорему Птолемея для вписанного в окружность 4 угольника: m*AB+m*AD=8*BD=16*m*cos(45/2) Откуда после сокращения на m получим: AB+AD=16*cos(45/2) Осталось вспомнить тригонометрию: cos^2(45/2)=(1+cos45)/2=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4 сos(45/2)=√(2+√2)/2 AB+AD=8*√(2+√2)
m/sina=AC/sinB=AC/sinD
sinB=sinD
То есть возможно 2 варианта:
1) ΔB=ΔD;
2)ΔB=180-ΔD;
Положим что : ΔB=ΔD
Тогда из соображений постоянства суммы углов треугольника:
ΔBCA=ΔACD. Отсюда следует что треугольники BCA и ACD равны по стороне и двум прилежащим углам. Но тогда AB=AD,что противоречит условию. А значит :ΔB+ΔD=180. А это значит что около 4-угольника ABCD можно описать окружность. (Окружность нарисована схематически замкнутой линией) . А отсюда в свою очередь выходит что ΔС=180-45=135
Откуда: ΔСBD=ΔСDB=45/2;
То опустив медиану с C на BD (она же и высота)
Очевидно что BD=2*m*cos(45/2)
Ну и наконец самое интересное:
Запишем теорему Птолемея для вписанного в окружность 4 угольника:
m*AB+m*AD=8*BD=16*m*cos(45/2)
Откуда после сокращения на m получим:
AB+AD=16*cos(45/2)
Осталось вспомнить тригонометрию:
cos^2(45/2)=(1+cos45)/2=(1+√2/2)/2=(2+√2)/4
сos(45/2)=√(2+√2)/2
AB+AD=8*√(2+√2)
Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей - 15 см. Найдите площадь ромба.
Высота ромба перпендикулярна его стороне, ⇒∆ ВНD- прямоугольный.
Примем отрезок АН стороны АD равным а, отрезок HD=x.
По т.Пифагора НD=√(BD²-BH²)=√(225-144)=9 (см)
АB=AD=AH+HD=a+9
Из ∆ АВН по т.Пифагора АВ²=а²+12²
AD²=(a+9)²
Стороны ромба равны. Приравняем значения квадрата стороны:
а²+12²=а²+18а+81, откуда
18а=63 ⇒ а=3,5 (см)
AD=3,5+9=12,5 (см)
Площадь ромба равна произведению высоты на сторону к которой проведена.
S=12•12,5=150 см²