Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а медиана, проведённая к этому катету, равна 2 корень из 13 см. найдите гипотенузу треугольника с рисунком )
Продлим медианы так, чтобы: BD = DO, B1D1 = D1O1. В ΔADO и ΔDBC: AD = DC (из условия) BD = DO (по построению) ∠ADO = ∠BDC (как вертикальные). Таким образом, ΔADO = ΔBDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC. Аналогично ΔA1D1O1 = ΔD1B1O1 и А1О1 = В1С1, ∠A1O1D1 = ∠D1В1С1. Т.к. ВС = В1С1, то АО = А1О1. В ΔАОВ и ΔА1О1В1: АВ = А1В1 (из условия), АО = А1О1 (по построению), ВО = В1О1 (по построению),
Таким образом, ΔАВО = ΔА1В1О1 по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда
∠A1B1C1 = ∠A1B1D1 + ∠D1B1C1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны. Следовательно ∠АВС = ∠А1В1С1. В ΔABC и ΔA1В1С1: ∠АВС = ∠А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1 (из условия). Таким образом, ΔАВС = ΔА1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
(DB1)²=(BB1)²+BD² . ΔDBB1 - равнобедренный ,прямоугольный.,
∠BDB1 = ∠BB1D =45° . BD найдём из ΔABD BD = √AD²+AB² = √a²+a² =a·√2. BD= a·√2 BB1 = BD = a√2 ⇒ DB1= √2·(a·√2)² = a√2·√2=.2a
DB1=2 a
б)Угол между диагональю DB1 и боковой гранью - угол между прямой DB1 и её проекцией АВ1 на плоскость АВВ1А1, т.к ∠DA ⊥ АВ , АВ ⊆ пл.АВВ1А1. АВ ⊥ АВ1 ⇒ ΔDAB1 -прямоугольный ⇒
sin∠AB1D =AD / DB1 = a / (2 a )= 1/2 ⇒
∠AB1D = 30°
в ) Площадь указанного в условии сечения - площадь прямоугольника ADC1B1 : S = AD· AB1
Из ΔABB1 AB1 = √AB² + B1B² = √a² + (a√2)²=√3a² = a·√3
Таким образом, ΔADO = ΔBDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC.
Аналогично ΔA1D1O1 = ΔD1B1O1 и А1О1 = В1С1, ∠A1O1D1 = ∠D1В1С1.
Т.к. ВС = В1С1, то АО = А1О1. В ΔАОВ и ΔА1О1В1: АВ = А1В1 (из условия), АО = А1О1 (по построению), ВО = В1О1 (по построению),
Таким образом, ΔАВО = ΔА1В1О1 по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда
∠A1B1C1 = ∠A1B1D1 + ∠D1B1C1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны.
Следовательно ∠АВС = ∠А1В1С1.
В ΔABC и ΔA1В1С1:
∠АВС = ∠А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1 (из условия).
Таким образом, ΔАВС = ΔА1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.