Карточка№1 1. Дайте определение стереометрии. Кратко охарактеризуйте простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость, приведите примеры их изображения и обозначения
2. Даны две плоскости и , пересекающиеся по прямой m. Точка G принадлежит плоскости , точка М принадлежит прямой m. Верны ли утверждения: а) прямая GМ не лежит в плоскости ; б) прямая GМ лежит в плоскости ?
Карточка№2
1. Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
2. Изобразите плоскость , проходящую через заданную прямую m. Запишите информацию о взаимном расположении прямой и плоскости при специальных символов
Карточка№3
1. Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
2. Перечислите при которых можно однозначно задать плоскость
Карточка№4
1. Какие фигуры называются равными?
2. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются
Карточка№5
1. Какие фигуры называются подобными?
2. Докажите, что середины ребер AB, BC, CC1, C1D1, D1A1 и AA1 куба ABCDA1B1C1D1 лежат в одной плоскости
Карточка№6
1. Докажите следствие 1 из основных аксиом геометрии
2. Докажите, что через каждую точку пространства можно провести бесконечно много плоскостей
Карточка№7
1. Докажите следствие 2 из основных аксиом геометрии
2. Докажите, что в каждой плоскости существуют три точки, не лежащие одной прямой
Карточка№ 8
1. Докажите следствие 3 из основных аксиом геометрии
2. Докажите, что через каждую прямую можно провести плоскость
Карточка№ 9
1. Дайте определение многогранника. Приведите примеры многогранников естественного и искусственного происхождения. Какие виды многогранников Вы знаете, кратко опишите их.
2. Докажите, что через каждую прямую можно провести бесконечно много плоскостей
Карточка № 10
1. Дайте определение призмы. Приведите примеры призм естественного и искусственного происхождения. Какая призма называется прямой, правильной?
2. На ребрах AD, AC и CB тетраэдра DABC отмечены точки Х, У и Н соответственно. Прямые УХ и СD пересекаются в точке К, а прямые УН и АВ – в точке М. Докажите, что прямые КН, ХМ и ВD пересекаются в одной точке.
ответ: 1) 70*, 110*, 70*, 110*.
2) 50*, 130*, 50*, 130*.
3) 30*,150*, 30*, 150*.
Объяснение:
Сумма углов в четырехугольнике (а параллелограмм - четырехугольник) равно 360*.
Кроме того противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной из сторон равна 180*.
Пусть угол А - острый, а угол В - тупой.
Значит
1) ∠В-∠А=40*. То есть ∠В больше ∠А на 40*.
Пусть ∠А=х, тогда ∠В=х+40. В сумме они равны 180*.
х+х+40=180*;
2х=140*;
х=70* - ∠А;
х+40*=70*+40*=110* - ∠В.
Так как противоположные углы в параллелограмме равны, то:
∠С=∠А=70*;
∠D=∠B=110*
Проверим:
70*+110*+70*+110*=140*+220*=360*. Все верно.
2) ∠В-∠А=80*. То есть угол В на 80* больше угла А.
∠А=х, ∠В=х+80*.
х+х+80*=180*
2х=100*;
х=50* - ∠А;
х+80*=50*+80*=130* - ∠В.
∠А=∠С=50*;
∠В=∠D=130*.
Проверим:
50*+130*+50*+130*=100*+260*=360*. Все верно.
3) ∠В-∠А=120*. Значит ∠В больше ∠А на 120*.
∠А=х, ∠В=х+120*.
х+х+120*=180*.
2х=60*;
х=30* - ∠А;
х+120*=30*+120*=150* - ∠В.
∠А=∠С=30*;
∠В=∠D=150*.
Проверим:
30*+150*+30*+150*=60*+300*=360*. Все верно.
Обозначим точку пересечения плоскости β отрезком CD буквой О.
DD1║CC1, CD- секущая, ⇒ накрестлежащие ∠D=∠C, вертикальные углы при О равны, ⇒ ∆ DOD1 подобен ∆ COC1 по первому признаку.
k=CC1:DD1=6/√3:√3=2
Тогда СО=2DO=²/₃ СD
ЕО=СО-СЕ
EO= \frac{2}{3} CD- \frac{1}{2} CD= \frac{1}{6} CDEO=
3
2
CD−
2
1
CD=
6
1
CD
∆ COC1 подобен ∆ EOE1 по первому признаку подобия ( ∠С=∠Е - соответственные при пересечении параллельных прямых ЕЕ1 и СС1 секущей CD, угол О - общий).
k= \frac{CO}{EO} = \frac{ \frac{2}{3} CD}{ \frac{1}{6} CD}= \frac{2*6}{3}= 4k=
EO
CO
=
6
1
CD
3
2
CD
=
3
2∗6
=4 ⇒
E E_{1}= \frac{6}{ \sqrt{3}}:4= \frac{6* \sqrt{3} }{ \sqrt{3}* \sqrt{3} *4}= \frac{ \sqrt{3}}{2} smEE
1
=
3
6
:4=
3
∗
3
∗4
6∗
3
=
2
3
sm