Вот такое нахальное решение. ну уж простите : )пусть катеты a и b, гипотенуза с. я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая отрезок а от вершины. (пояснение.построенный со стороной (a + b) с вершинами аbcd, а - "левая нижняя" вершина. от а вверх - вдоль ав, откладывается а, потом от в вправо - вдоль вс откладывается а, потом от с вниз, вдоль cd, откладывается а, и от d вдоль da откладывается а.)все эти точки соединяются.получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).ясно, что центры этих квадратов . это автоматически доказывает то, что надо в . (если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство. на самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. этих треугольников там даже четыре, а не один : ), можно любой выбрать за исходный.)
Задача: Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, разность которых составляет 5 см. Найдите площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4.
Пусть дан ΔABC, ∠C = 90°, CD — биссектриса. Исходя из условия задачи, обозначим длины отрезков AD за x+5 (см), BD за x (см), AC за 4y (см), BC за 3y (см).
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
Применим т. Пифагора для определения переменной y:
Подставим значения в формулу площади прямоугольного треугольника:
Задача: Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, разность которых составляет 5 см. Найдите площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4.
Пусть дан ΔABC, ∠C = 90°, CD — биссектриса. Исходя из условия задачи, обозначим длины отрезков AD за x+5 (см), BD за x (см), AC за 4y (см), BC за 3y (см).
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
Применим т. Пифагора для определения переменной y:
Подставим значения в формулу площади прямоугольного треугольника:
ответ: Площадь треугольника равна 294 см².