К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB=12√3 см проведён перпендикуляр DC, равный 18 см. Найди угол между плоскостями DAB и CAB. Решение.
Треугольники ABC и ADB равнобедренные: △ABC , а в △ADB DA= , так как эти стороны — . Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведённые из вершин C и D к общему основанию , являются , и, следовательно, ∠DFC — линейный угол , а значит, угол между плоскостями DAB и CAB равен ∠ . △DFC прямоугольный, DC= , CF= 1/2 = см и поэтому tg∠DFC= = = , откуда ∠DFC= . Заполните пропуски

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. В нашем случае это квадрат со стороной, равной 1. Тогда апофема (высота грани пирамиды) равна по Пифагору √(AS²-AH²), где АН - половина АD. Нам дано, что ВСЕ ребра пирамиды =1. Значит апофема равна √(1-1/4)=√3/2.
Угол между плоскостями SAD и SBC - это угол между двумя противоположными гранями пирамиды, а значит это угол между их апофемами. Найдем синус угла между высотой пирамиды SO и апофемой грани SH. Он равен отношению половины стороны основания HO (противолежащий катет) к апофеме SH (гипотенузе), то есть 1/2:√3/2=1/√3=√3/3. Но это синус половины искомого угла. Косинус искомого угла находится по формуле:
Cos2α=1-2*Sin²α. В нашем случае Coc2α=1-2*(√3/3)²=1-3/9=1-2/3=1/3.
ответ: косинус между плоскостями SAD и SBC равен 1/3.

Пусть наша трапеция АВСD c диагональю ВD. Тогда треугольник АВD равнобедренный с основанием ВD и сторонами АВ=АD (так как <ABD=<DBC (дано, что BD - биссектриса, а <BDA=<DBC как накрест лежащие при параллельных ВС и АD).  Тогда Периметр трапеции равен ВС+3*АВ=42, отсюда АВ=13см
В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. Полуразность равна (13-3)/2=5 (так как АD=АВ). По Пифагору находим высоту трапеции: h=√(13²-5²)=√18*8=12
ответ: высота трапеции равна 12см.