К – перпендикуляр к плоскости параллелограмма KLMN. Известно, что BL перпендикулярно LM. а)Докажите, что KLMN – прямоугольник; б) Докажите, что ВKL перпендикулярно KLMN

Даны координаты вершин треугольника АВС, А(2;-4), В(-2;-1),С(4;1). методами аналитической геометрии:

1) составить уравнение стороны AB;  

АВ : Х-Ха = У-Уа

Хв-Ха  Ув-Уа

        х - 2) / (-4) = (у + 4) / 3.

АВ : 3Х + 4У + 10 = 0

АВ:  у = -0,75х - 2,5

2) составить уравнение высоты СН, проведенной из вершины C;  

к(СН) = -1/к(АВ) = -1/-0,75 = 4/3.

СН: у = (4/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С:

1 = (4/3)*4 + в,  в = 1 - (16/3) = -13/3. Тогда СК: у = (4/3)х - (13/3).

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины B;  

Расчет длин сторон     Квадрат

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √25 = 5.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √40 = 6,32455532

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √29 =  5,385165.

По формуле Герона находим площадь:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 16,70972.

Подставив значения величин, находим S = 13 кв.ед.

Можно применить готовую формулу определения площади треугольника по координатам вершин.

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 13 кв.ед.

Тогда высота из точки В равна: 2S/AC = 2*13/√29 = 4,82808.

ответ: 21 (ед. длины)

Объяснение: Поскольку стороны вписанного прямоугольника параллельны диагоналям квадрата,  диагональ ВD квадрата   делит периметр прямоугольника на две равные половины ТКМЕ и ТРНЕ. Как известно, диагонали квадрата делят его углы пополам.  При этом угловые треугольники МВН и КDР – равные прямоугольные  равнобедренные, в которых ВЕ=ЕМ=ЕН и TD=ТК=РТ.  Заметим, что МК+МЕ+ТК=DВ=10,5 - это длина половины периметра прямоугольника. Полный периметр прямоугольника КМНР=2•10,5=21 ( ед. длины)