Из точки С к окружности проведены две касательные, касающиеся ее в
точках А и В. ∟АОВ равен 105 0 . Найти ∟ АСВ.
Решение:
проведем прямую ОС. Мы получили 2 равных
прямоугольных треугольника: ∆ АСО и ∆ВСО (В
прямоугольном треугольнике 3 стороны: 2катета и
1гипотенуза),
Где АО=ОВ=R, АС=СВ (по 2 катетам), ОС –общая, ОС-
биссектриса ∟АСВ, которая разделила на 2 равных угла: ∟АОС=∟ВОС=
∟АОВ :2=105 0 :2=52,5 0 или 52 0 30⸍ (52градуса 30минут)
∟АСО=∟ВСО=90 0 -52 0 30ˊ=89 0 60ˊ-52 0 30ˊ=-37 0 30ˊ, отсюда ∟АСВ=2*37 0 30ˊ=75 0
ответ: ∟ АСВ=75 0
ДЗ: выучи конспект, реши
1. КМ и KN - отрезки касательных, проведенных из точки К к окружности с
центром О. Найдите KM и KN, если ОК = 12 см, ∠MON = 120°.
2. Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к

На мой взгляд самый быстрый построить угол 30 градусов с линейки и циркуля состоит в следующем:

проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. В точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. Проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). Острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Касательные из одной точки к окружности равны. Отрезки, соединяющие центр окружности и точку, из которой проведены касательные являются биссектрисами углов между этими касательными и углов между радиусами, проведенными к этим касательным в точки касания. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Сумма всех углов с вершиной в центре окружности равна 360°.  Следовательно:

<NML=2*28=56°, <MNL=2*31=62°, <NLM=180-56-62=62°, <AOM=90-28=62°, <AON=90-31=59°, <NOB=<AON=59°, <MOC=<AOM=62°, <AOC=2*<AOM=124°, <AOB=2*<AON=118°, <COB=360-124-118=118°, <COL=<BOL=<COB:2 = 59°.