Есть как минимум решить эту задачу - с теоремы Менелая и с теоремы о пропорциональных отрезках. Первый проще, второй понятнее. Решим, скажем вторым По условию BD=3x, DC=2x, AF=3y, FC=4y.
Возьмем на отрезке FC точку E так, чтобы DE║ BF. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу BCA и параллельным прямым BF и DE, FE:EC=BD:DC=3:2. То есть если отрезок FC разделить на 5 равных отрезков, три из них покроют отрезок FE, остальные два - EC. Поэтому EF=(3/5)FC=(3/5)4y=12y/5. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу DAC и параллельным прямым PF и DE, AP:PD=AF:FE=(3y)/(12y/5)=5/4.
Ладно, уговорили, сделаем задачу и первым Кто не знает теорему Менелая, разобравшись в решении, поймет суть этой теоремы (а можно залезть в интернет и найти точную формулировку; можно и умную книжку поискать на своей книжной полке). Применим теорему Менелая к треугольнику ADC и прямой BF:
a) tg∠MHC = 2
б) ∠(AM; (MBC)) = arccos(√10/4)
Объяснение:
a) Пусть Н - середина АВ, тогда СН - медиана и высота равнобедренного треугольника АВС,
СН ⊥ АВ.
СН - проекция МН на плоскость (АВС), значит
МН ⊥ АВ по теореме о трех перпендикулярах.
Тогда ∠МНС - линейный угол двугранного угла МАВС.
Из прямоугольного треугольника АСН:
СН = АС/2 = 2 см, как катет, лежащий против угла в 30°.
ΔМНС: ∠МСН = 90°,
tg∠MHC = MC / CH = 4 / 2 = 2
б) ∠ВАС = ∠ВСА = 30° как углы при основании равнобедренного треугольника АВС, ⇒
∠АСВ = 180° - 30° · 2 = 120°
Проведем АК⊥ВС, тогда ∠ АСК = 180° - 120° = 60° (по свойству смежных углов).
ΔАСК: ∠АКС = 90°
∠САК = 90° - 60° = 30°.
КС = 1/2 АС = 2 см как катет, лежащий против угла в 30°.
ΔСКМ: ∠МСК = 90°, по теореме Пифагора
МК = √(МС² + СК²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 см
СМ⊥(АВС) по условию, значит
СМ⊥АК,
АК⊥ВС по построению, ⇒ АК ⊥ (МВС), тогда
МК - проекция прямой АМ на плоскость (МВС) и значит
∠АМК = ∠(АМ; (МВС)) - искомый.
ΔАМС прямоугольный равнобедренный, значит его гипотенуза
АМ = СМ√2 = 4√2 см
ΔАМК: ∠АКМ = 90°
cos∠AMK = MK / AM = 2√5 / (4√2) = √10/4
∠AMK = arccos(√10/4)
По условию BD=3x, DC=2x, AF=3y, FC=4y.
Возьмем на отрезке FC точку E так, чтобы DE║ BF. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу BCA и параллельным прямым BF и DE, FE:EC=BD:DC=3:2. То есть если отрезок FC разделить на 5 равных отрезков, три из них покроют отрезок FE, остальные два - EC. Поэтому EF=(3/5)FC=(3/5)4y=12y/5. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу DAC и параллельным прямым PF и DE, AP:PD=AF:FE=(3y)/(12y/5)=5/4.
Ладно, уговорили, сделаем задачу и первым Кто не знает теорему Менелая, разобравшись в решении, поймет суть этой теоремы (а можно залезть в интернет и найти точную формулировку; можно и умную книжку поискать на своей книжной полке). Применим теорему Менелая к треугольнику ADC и прямой BF:
(AP/PD)·(DB/BC)·(CF/FA)=1⇒AP/PD=(BC/DB)·(FA/CF)=(5/3)·(3/4)=5/4
ответ: 5/4