Посчитаем расстояния меж точками CD = sqrt((2-6)^2+(2-5)^2) = sqrt(4^2+3^2) = sqrt(16+9) = sqrt(25) = 5 DE = sqrt((6-5)^2+(5-(-2))^2) = sqrt(1^2+7^2) = sqrt(50) = 5sqrt(2) EC = sqrt((5-2)^2+(-2-2)^2) = sqrt(3^2+4^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5 Длины двух сторон совпали, и это хорошо, треугольник действительно равнобедренный. Просят найти биссектрису, проведённую из вершины равнобедренного треугольника. А биссектриса эта совпадает с высотой и медианой. Медиана делит основание пополам в точке М М = (D+E)/2 = ((6+5)/2;(5-2)/2) = (11/2;3/2) = (5,5;1,5) CM = sqrt((2-5,5)^2+(2-1,5)^2) = sqrt(3,5^2+0,5^2) = 5/sqrt(2)
Считается, что чем больше различных решений существует у задачи, тем она интереснее с математический точки зрения. В этом отношении, задача, которую мы рассмотрим сегодня, является одной из наиболее интересных в школьном курсе геометрии. Она же, кстати, была предложена для решения в задании 24 модуля «Геометрия» демонстрационного варианта ОГЭ по математике в 2015 году. Так что попробуем решить её максимально возможным количеством не выходящих за рамки школьного курса. Присылайте свои варианты решения в комментариях или на почту репетитора по математике и физике. С удовольствием опубликую их и поставлю ссылку на вашу анкету или сайт, если это необходимо.
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой обозначим буквой .
2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых , и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того, по условию. Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .
CD = sqrt((2-6)^2+(2-5)^2) = sqrt(4^2+3^2) = sqrt(16+9) = sqrt(25) = 5
DE = sqrt((6-5)^2+(5-(-2))^2) = sqrt(1^2+7^2) = sqrt(50) = 5sqrt(2)
EC = sqrt((5-2)^2+(-2-2)^2) = sqrt(3^2+4^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5
Длины двух сторон совпали, и это хорошо, треугольник действительно равнобедренный.
Просят найти биссектрису, проведённую из вершины равнобедренного треугольника. А биссектриса эта совпадает с высотой и медианой.
Медиана делит основание пополам в точке М
М = (D+E)/2 = ((6+5)/2;(5-2)/2) = (11/2;3/2) = (5,5;1,5)
CM = sqrt((2-5,5)^2+(2-1,5)^2) = sqrt(3,5^2+0,5^2) = 5/sqrt(2)
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой обозначим буквой .
2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых , и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того, по условию. Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .