Из центра О правильного треугольника ABC проведен перпендикуляр ОМ к плоскости ABC длинной 2см. Вычесление растояний от точки М до стороны треугольника ABC если AB = 4см.

1) Из ΔАВС:  <C=90, <B=30, <A=180-90-30=60. 
найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2
катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3
Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1
2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60.
Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1
3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем   CD=DB=1, <DCB=<DBC=30,
тогда <CDB=180-30-30=120. 
4) Рассмотрим Δ СDF, в нем  <CDF=120-<BDF=120-15=105.
<CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45.
По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит
CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105
DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2
Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8
sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и B равны. Докажите , что 2AC больше AB.
Если внешние углы при вершинах равны, то и внутренние углы, как смежные с внешними, равны. 
Следовательно,  углы А и В равны и треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. 
Одно из основных свойств треугольника гласит :
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности. 
Так как АС=ВС, 2 АС=АС+ВС.
 АС+ВС больше стороны АВ, иначе треугольник не мог бы получиться - стороны просто не сошлись бы и не образовали третий угол. 
Следовательно,  2 АС больше АВ, что и требовалось доказать.