IV. Високий рівень навчальних досягнень 9. Не виконуючи побудови, визначте, при якому значенні а точки (35)
(9; 10) і (а;0) лежать на одній прямій.​

ΔАВС- равнобедренный.Пусть  АВ=ВС =а. ВЕ⊥ АС=10 см, DC⊥АВ=12 см. Найти R окр.,описанной около Δ СDB.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC   ⇒  S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB                S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC                 S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC  (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC      ⇒ 5AC=6BC  (3)
Из  Δ ВЕС  найдём  ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100     АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство :  5 АС=6 ВС и  АС=2х   ⇒
5·2√а²-100 = 6а  ⇒  100·(а²-100)=36 а²  ⇒  64 а²=10000  
а²=10000 / 64   ⇒  а=100 / 8    R = 1/2 a   =  50/8 = 25 / 4

Vцилиндра = pi * R² * H
H -- ширина развертки
длина развертки -- длина окружности-основания цилиндра = 2*pi*R
известна формула: площадь параллелограмма = половине произведения диагоналей на синус угла между ними)))
прямоугольник -- частный случай параллелограмма...
его S = d² * sina / 2 = H * (2*pi*R) -- площадь прямоугольника = произведение длины на ширину)))
H * pi * R = d² * sina / 4
осталось "найти" радиус --выразить через d и a)))
диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам...
получим равнобедренный треугольник с основанием (2*pi*R) и боковыми сторонами=половинам диагоналей, угол в этом треугольнике при вершине = (180-а) 
проведем в нем высоту (которая будет и биссектрисой и медианой)))...
из получившегося прямоугольного треугольника:
2*pi*R = d * cos(a/2)
V = pi * R * H * R = d² * sina * d * cos(a/2) / (8*pi) = d³ * sina * cos(a/2) / (8*pi) 
можно еще записать: cos(a/2) = √((1+cosa) / 2)