Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис. На рисунке указаны биссектрисы, выходящие из острых углов прямоугольного треугольника. Пусть угол отмеченный зеленым α, а красным β; 2α+2β = 90°; Значит α+β=45°; Значит тупой угол треугольника, образованного биссектрисами равен 180°-45°=135°. Стороны, прилежащие к этому углу, по условию равны √54 и √10. По теореме косинусов имеем: гипотенуза =
Далее слишком большие вычисления. Они аналогичны тем, что выше. Тоже через теорему косинусов, ну можно местами и синусов :)
Далее слишком большие вычисления. Они аналогичны тем, что выше. Тоже через теорему косинусов, ну можно местами и синусов :)