Хорды ab и cd окружности пересекаются в точке k. Найдите угол AKC, если дуга ac = 36, bd = 42

L, M - середины сторон.

Продлим LM до пересечения с AB в точке K

BL=LC (по условию)

∠KBL=∠C (накрест лежащие при AB||CD)

∠KLB=∠MLC (вертикальные)

△KBL=△MCL (по стороне и прилежащим углам) => KL=LM

△KAM: AL - биссектриса (по условию) и медиана, следовательно и высота, ∠ALM=90.

Продлим LM до пересечения с AD в точке N

Рассуждая аналогично, △MDN=△MCL => MN=LM =>

△NAL: AM - биссектриса/медиана, следовательно и высота, ∠AMN=90

Из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой LM. Следовательно данная конфигурация невозможна.

2.

ABCD - параллелограмм

BC || AD; ED - секущая, тогда

∠ADE=∠DEC=55°(внутренние накрест лежащие)

ΔECD - равнобедренный значит

∠DEC=∠EDC=55°

∠BED=180°-55°=125°(смежные)

∠DEC+∠EDC+∠C=180°(сумма всех углов треугольника)

55°+55°+∠C=180°, отсюда ∠C=70°

∠C=∠А=70°

∠А+∠B=180°(свойство параллелограмма)

70°+∠B=180°, значит ∠B=110°

∠B=∠D=110°

ответ: ∠DEC=∠EDC=55°;∠C=∠А=70°; ∠B=∠D=110°

3.

RM - биссектриса, значит

∠LRM=∠MRS=90°/2=45°

∠LMR=180°-(45°+90°)=45° (сумма всех углов треугольника)

ответ: ∠LRM=∠MRS=45°;∠LMR=45°;∠K=∠S=90°