В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно. РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину отрезка DА.
Объяснение:
1) ΔABD ,NP-средняя линия ⇒NP=1/2*AD и NP║AD;
2) ΔAСD ,MQ-средняя линия ⇒MQ=1/2*AD и MQ║AD; Получили NP=MQ и NP║MQ.
Учитывая 1 и 2 получаем, что MPNQ- параллелограмм , тк противоположные стороны равны и параллельны .Учитывая , что
РQ =NM (признак прямоугольника), получаем , что NPMQ – прямоугольник.
Отрезок DA=1/2*MQ по т. о средней линии треугольника. Отрезок MQ найдем из ΔАВС по т. о средней линии треугольника: MQ=1/2*ВС=1/2*18=9 (см).
ΔMQР-прямоугольный , по т. Пифагора MQ=√(15²-9²)=12(см)⇒DA=6 cм
Построй трапецию ABCD, где AD-большее основание. Построй две высоты: BE и CH. Смотрим: BE и CH перпенд. AD =>BE парал.CH, BC парал. AD (по опред. трап.)=> BCпарал. BC. Из этого следует, что BCEH - параллелограмм=> BE=CH и BC=EH Смотрим треуг.ABE и треуг.CDH т.к. BE и CH перпенд. AD, то треуг.ABE и треуг.CDH - прямоуг. BE=CH AB=CD (по усл.) треуг.ABE = треуг.CDH (по гип. и катету)=> AE=HD Смотрим треуг. ACH он прямоуг. , т.к. CH перп. AH По т. Пифагора AH= корень из (AC^2-CH^2)=8см S=(BC+AD)CH/2=(BC+AE+EH+HD)CH/2=2*AH*CH/2=AH*CH=48 см^2
В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно. РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину отрезка DА.
Объяснение:
1) ΔABD ,NP-средняя линия ⇒NP=1/2*AD и NP║AD;
2) ΔAСD ,MQ-средняя линия ⇒MQ=1/2*AD и MQ║AD; Получили NP=MQ и NP║MQ.
Учитывая 1 и 2 получаем, что MPNQ- параллелограмм , тк противоположные стороны равны и параллельны .Учитывая , что
РQ =NM (признак прямоугольника), получаем , что NPMQ – прямоугольник.
Отрезок DA=1/2*MQ по т. о средней линии треугольника. Отрезок MQ найдем из ΔАВС по т. о средней линии треугольника: MQ=1/2*ВС=1/2*18=9 (см).
ΔMQР-прямоугольный , по т. Пифагора MQ=√(15²-9²)=12(см)⇒DA=6 cм
BE=CH и BC=EH
Смотрим треуг.ABE и треуг.CDH
т.к. BE и CH перпенд. AD, то треуг.ABE и треуг.CDH - прямоуг.
BE=CH
AB=CD (по усл.)
треуг.ABE = треуг.CDH (по гип. и катету)=> AE=HD
Смотрим треуг. ACH
он прямоуг. , т.к. CH перп. AH
По т. Пифагора
AH= корень из (AC^2-CH^2)=8см
S=(BC+AD)CH/2=(BC+AE+EH+HD)CH/2=2*AH*CH/2=AH*CH=48 см^2