Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.
Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.
Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".
Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:
Заметим, что AB=AM+BM, CD=CP+DP, BC=BN+CN, AD=AQ+DQ.
По условию, AM=CP, BM=DP, тогда AB=CD. Также BN=DQ, CN=AQ, тогда BC=AD. Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны, тогда этот четырехугольник - параллелограмм.
В параллелограмме противоположные углы попарно равны. Рассмотрим треугольники AMQ и CNP. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Тогда MQ=NP. Аналогично, треугольники BMN и OPQ равны по 2 сторонам и углу между ними, тогда MN=PQ. В четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны, тогда этот четырехугольник также является параллелограммом.
Из условия, что четыре ребра куба параллельны диагонали основания пирамиды, делаем вывод: вершины основания куба лежат на осях основания пирамиды, а 4 других вершины куба лежат на апофемах пирамиды.
Проведём осевое сечение пирамиды через 2 противоположные апофемы.
Куб рассечётся по диагонали, его сечение - прямоугольник. Пусть высота его равна "х", ширина как диагональ равна "х√2".
Из подобия треугольников сечения составим пропорцию:
(9 - х)/(х√2/2) = 9/2.
9х√2 = 36 - 4х,
х(4 + 9√2) = 36,
х = 36/(4 + 9√2) ≈ 2,152090371 .
ответ: длина ребра куба примерно равна 2,15.
По условию, AM=CP, BM=DP, тогда AB=CD. Также BN=DQ, CN=AQ, тогда BC=AD. Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны, тогда этот четырехугольник - параллелограмм.
В параллелограмме противоположные углы попарно равны. Рассмотрим треугольники AMQ и CNP. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Тогда MQ=NP. Аналогично, треугольники BMN и OPQ равны по 2 сторонам и углу между ними, тогда MN=PQ. В четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны, тогда этот четырехугольник также является параллелограммом.