(Отметим, что в условии опечатка и N=M - середина АС)
В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники.
М середина АС, ⇒,SM- медиана и высота треугольника ASC,
а ВМ - медиана и высота треугольника АВС.
В равных треугольниках высоты равны.
SM=BM=AB•sin60º= (4√3):2 =2√3⇒
Треугольник SMB- равнобедренный.
О- центр основания⇒т.О – центр вписанной в правильный треугольник окружности и лежит в точке пересечения биссектрис ( для правильного треугольника они же - медианы и высоты).
Тогда МО=МВ:3 ( свойство медианы)=(2√3):3 = 2:√3
По т. Пифагора SO=√(SM² - MO²) = (4√2):√3
Тогда РО=SO:4= √2:√3
Из ∆ МРО по т.Пифагора MP=√(PO² +MO²)=√(2/3+4/3)=√2
sin∠ PMO= PO:MP= (√2 : √2): √3 = 1/√3
Тогда НВ:МВ=1/√3, откуда НВ=2√3•1/√3=2
НВ - половина SB, поэтому МН - медиана ∆ SMB, а т.к. этот треугольник равнобедренный, то МН - его высота и перпендикулярна SB.
Точка Р принадлежит МН, и прямая МР перпендикулярна SB. ч.т.д.
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
(Отметим, что в условии опечатка и N=M - середина АС)
В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники.
М середина АС, ⇒,SM- медиана и высота треугольника ASC,
а ВМ - медиана и высота треугольника АВС.
В равных треугольниках высоты равны.
SM=BM=AB•sin60º= (4√3):2 =2√3⇒
Треугольник SMB- равнобедренный.
О- центр основания⇒т.О – центр вписанной в правильный треугольник окружности и лежит в точке пересечения биссектрис ( для правильного треугольника они же - медианы и высоты).
Тогда МО=МВ:3 ( свойство медианы)=(2√3):3 = 2:√3
По т. Пифагора SO=√(SM² - MO²) = (4√2):√3
Тогда РО=SO:4= √2:√3
Из ∆ МРО по т.Пифагора MP=√(PO² +MO²)=√(2/3+4/3)=√2
sin∠ PMO= PO:MP= (√2 : √2): √3 = 1/√3
Тогда НВ:МВ=1/√3, откуда НВ=2√3•1/√3=2
НВ - половина SB, поэтому МН - медиана ∆ SMB, а т.к. этот треугольник равнобедренный, то МН - его высота и перпендикулярна SB.
Точка Р принадлежит МН, и прямая МР перпендикулярна SB. ч.т.д.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.