Геометрия,, К плоскости ABCD проведения перпендикуляр MA.(см. рис)

1. Какой из прямых (DM, BM, OM) перпендикулярна прямая DB?
2. Какой из плоскостей (DAM, DAB, ABM) перпендикулярна плоскость MAO?
3. Чему равна проекция наклонной на плоскость, если наклонная, длина которой равна 4 см, составляет с плоскостью угол 30 градусов?
4. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см, 4 см.
5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.

Рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

Против угла в 30° катет равный половине стороны. Диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3см, второй катет D/2=√(6√3)²-(3√3)² = √108-27=√81=9 cм

D = 18 cм

Для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s = √p(p-a)(р-b)(p-c), где р - полупериметр  p=(9+3√3+6√3)/2 = 4,5+4,5√3

s=√(4,5+4,5√3)(4,5+4,5√3-3√3)(4,5+4,5√3-6√3)(4,5+4,5√3-9)=√(4,5+4,5√3)(4,5+1,5√3)(4,5-1,5√3)(-4,5+4,5√3) = √(60,75-20,25)(20,25-6,75) =√40,5*13,5 =√546,75

Так как диагональ ромба делит угол пополам то угол, состовляющий часть угла 60 градусов раен 30 градусов. В этом треугольнике гипотенуза равна 6 sqrt(3). А соторона против 30 градусов равна половине гипотенузы то есть 3sqrt(3). Значит диагональ равен 6sqrt(3)(можно было заметить что треугольник с углом 60 градусов равносторонний.). Теперь найдем вторую диагональ D. По теореме пифагора D= корень(108-27)=корень(81)=9. Значит диагональ равен 18.

По формуле r=D1D2/4a=9*6корень(3)/24корень(3)=9/4=2,25