Примем в ∆ АВС ∠ВАС=а, ∠АСВ=с. Продолжим медиану на её длину до т.Д. Соединив вершины А и С с Д, получим параллелограмм АВСД ( из признака параллелограмма – диагонали точкой пересечения М делятся пополам). ∠САД=с (накрестлежащие при пересечении параллельных ВС и АД секущей АС). Аналогично ∠АСД=а (накрестлежащий углу ВАС.
По условию ∠АВМ=а+с. В ∆ АДВ углы при основании АВ равны а+с ⇒ АД=ВД. На том же основании в ∆ ВСД углы при СД равны а+с, и ВС=ВД. По построению ВМ=МД, ⇒ВМ =ВС:2, т.е. отношение медианы ВМ:ВС=1:2
Рассмотрим Δ APK и ΔMPN, они равны, потому что AP=PN (по условию), KP=PM (по условию), ∠APK = ∠MPN (вертикальные углы), что и требовалось доказать. Так как треугольники равны, а значит они имеют равные стороны и углы, отсюда MN=AK=24
ответ: доказано; 24.
№3
Дано:
BA=DC
AD=BC
∠CAD=37
Доказать: ΔABC = ΔADC
Найти: ∠BCA
ΔABC=ΔADC, потому что AB=DC (по условию), AD=BC (по условию), AC -общая сторона, это третий признак равенства треугольников, что и требовалось доказать. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, а значит ∠BCA = ∠CAD = 37
Примем в ∆ АВС ∠ВАС=а, ∠АСВ=с. Продолжим медиану на её длину до т.Д. Соединив вершины А и С с Д, получим параллелограмм АВСД ( из признака параллелограмма – диагонали точкой пересечения М делятся пополам). ∠САД=с (накрестлежащие при пересечении параллельных ВС и АД секущей АС). Аналогично ∠АСД=а (накрестлежащий углу ВАС.
По условию ∠АВМ=а+с. В ∆ АДВ углы при основании АВ равны а+с ⇒ АД=ВД. На том же основании в ∆ ВСД углы при СД равны а+с, и ВС=ВД. По построению ВМ=МД, ⇒ВМ =ВС:2, т.е. отношение медианы ВМ:ВС=1:2
Дано:
AP=PN
KP=PM
AK = 24
Доказать: ΔAPK=ΔMPN
Найти: MN
Рассмотрим Δ APK и ΔMPN, они равны, потому что AP=PN (по условию), KP=PM (по условию), ∠APK = ∠MPN (вертикальные углы), что и требовалось доказать. Так как треугольники равны, а значит они имеют равные стороны и углы, отсюда MN=AK=24
ответ: доказано; 24.
№3
Дано:
BA=DC
AD=BC
∠CAD=37
Доказать: ΔABC = ΔADC
Найти: ∠BCA
ΔABC=ΔADC, потому что AB=DC (по условию), AD=BC (по условию), AC -общая сторона, это третий признак равенства треугольников, что и требовалось доказать. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, а значит ∠BCA = ∠CAD = 37