две правильные четырехугольные пирамиды, все ребра которых равны √6(√2+1), соединены основаниями так, что получается правильный восьмигранник. в этот восьмигранник вписан куб, все вершины которого находятся на ребрах восьмигранника. найдите площадь грани куба.
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;
диагональ = сторона*√2
(я обозначила диагональ основания пирамиды d)
если рассмотреть диагональное сечение пирамиды
(равнобедренный треугольник), то в него будет вписана половина
диагонального сечения куба --прямоугольник со сторонами
(а/2) и (а√2 / 2), где а --искомая сторона куба)))
из этого треугольника и можно найти сторону (а)
S = a²