Две окружности касаются внешним образом в точке С. К ним проведена общая касательная, имеющая общие точки с окружностями А и В соответственно. Прямая АС пересекает большую окружностью в точке D. а) Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный.
б) Докажите, что треугольник СВD — прямоугольный.
в) Докажите, что треугольник АВD — прямоугольный.
г) Докажите, что треугольники АСВ и АDВ подобны.
д) Докажите, что треугольники АСВ и СDВ подобны.
е) Найдите площадь треугольника АDВ, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
ж) Найдите AD, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
з) Найдите коэффициент пропорциональности треугольников АСВ и ADB, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
и) Найдите площадь треугольника АСВ, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
к) Найдите площадь треугольника СВD, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
л) Найдите площадь четырехугольника, образованного центрами окружностей радиусами 3 см и 5 см и точками А и В.
м) Найдите СВ, если радиусы окружностей 3 см и 5 см.
По св-ву р/б тр. углы при основании равны =а
2а+120=180
2а=60
а=30
по св-ву в прямоугольном треугольнике катет (она же высота) лежащий напротив угла в 30 градусов =1/2 гипотенузы =1/2*с где с -боковая сторона
тогда площадь треугольника равна=1/2*h*a=1/2*1/2*c*36=9c
но площадь треугольника также равна =1/2b*b*sin120=1/2b^2*sqrt(3)/2
1/2c^2*sqrt(3)/2=9c
c=36/sqrt(3)
трапецию можно вписать окружность;
MN ⊥ AD ; O ∈ [ MN ], O -пересечения диагоналей(MN проходит через O).
M∈ [AD] ,N∈ [BC].
ON -?
S =(AB +BC) /2 *H ,где H - высота трапеции .
По условию задачи трапеция описана окружности , следовательно :
AD+BC =(AB +CD) = P/2 =20/2 =10.
AB =CD =5 ;
S =(AB +BC) /2 *H ;
20 =5*H ⇒ H =4.
Проведем BE ⊥AD и CF ⊥ AD,
AE =DF =√(AB² -BE)² =√(AB² -H²) =√(5² -4²) =3 .
AD -BC =2*3 =6.
{ AD -BC =6 ; AD +BC =10 ⇒AD =8 ; BC =2.
ΔAOD подобен ΔCOB :
BC/AD =ON/ OM ⇔BC/AD =ON/ (H -ON) .
2/8 =ON/ (4 -ON) ⇒ON =0,8.
ответ: 0,8.