Два перпендикулярных отрезка KM и LN пересекаются в общей серединной точке P. Какой величины∡ N и ∡ K, если ∡ L = 25° и ∡ M = 65°?

1. Отрезки делятся пополам, значит, KP =
,
= LP,
∡
= ∡ MPL, так как прямые перпендикулярны и каждый из этих углов равен
°.
По первому признаку равенства треугольник KPN равен треугольнику MPL.

2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
В этих треугольниках соответствующие ∡
и ∡ M, ∡
и∡ L.
∡ K =
°;
∡ N =

∟DBK = 60°

Объяснение:

решение вопроса

+4

Дано: ∟ABC - прямий (∟ABC = 90°). ∟ABE = ∟EBF = ∟FBC.

BD - бісектриса ∟ABE, ВК - бісектриса ∟FBC. Знайти: ∟DBK.

Розв'язання:

Нехай ∟ABE = ∟EBF = ∟FBC = х.

За аксіомою вимірюваиня кутів маємо:

∟ABC = ∟ABE + ∟EBF + ∟FBC.

Складемо i розв'яжемо рівняння:

х + х + х = 90; 3х = 90; х = 90 : 3; х = 30. ∟ABE = ∟EBF = ∟FBC = 30°.

За означениям бісектриси кута маємо:

∟ABD = ∟DBE = 30° : 2 = 15°; ∟CBК = ∟KBF = 30° : 2 = 15°.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∟ABC = ∟ABD + ∟DBK + ∟KBC, ∟DBK = ∟ABC - (∟ABD + ∟KBC),

∟DBK = 90° - (15° + 15°) = 90° - 30° = 60°. ∟DBK = 60°.

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301