Два отрезка с концами на сторонах ab и cd
выпуклого четырёхугольника abcd проходят
через точку пересечения его диагоналей и оба
делятся этой точкой пополам. докажите, что abcd
— параллелограмм.​

OA =OD =  OB  =OC   = Знайдіть площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і   8 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін .

Дано:                                         рисунок  во вложении

ABCD  равнобедренная трапеция

AD || BC ;  

AB = CD ;

AD = 10 см ;

BC = 8 cм ;

∠ACD = ∠DBA =90° .

______________

S - ?

S = ( (AD +BC) /2 )  *h , нужно вычислить только высоту  трапеции

Около  равнобедренной  трапеции    можно омисать  окружность (сумма противоположных углов  равна  180°) . В данной  задаче  центром  окружности  является  середина  большого  основания  AD поскольку ∠ACD = ∠DBA =90° .  

R=  AD /2 = 10 /2  см =5 cм    

OA  = OD = OB = OC = R =5 cм  

Высоту  трапеции нетрудно  определить  из  равнобедренного треугольника OBC .  Проведем  OH ⊥ BC , BH =CH =BC/2 =4 см ;

h = OH

Из ΔOHB по теореме Пифагоа    OH =√(OB² - BH²) =√(5² - 4²) = 3 (см)

S = 0,5*(10+8)*3 = 9*3 = 27 (см²)

ответ: 27 см².        

1)Сумма углов трапеции, прилежащих к её меньшему основанию, равна 180°.

Неверно. Это свойство звучит так:

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°

2)В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам равны.

Верно. Это свойство высот равнобедренного треугольника, проведенных из вершин при основании.

3)Если касательная к окружности перпендикулярна хорде, проходящей через точку касания, то эта хорда — диаметр окружности.

Верно.

Потому что есть теорема:

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда

В условии сказано, что они перпендикулярны (угол между ними 90°)

Отсюда дуга, которую стягивает наша хорда равна 180°(=2*90), Значит хорда делит окружность пополам. Это может сделать только хорда,которая является диаметром.