довести що якщо основи висот трикутника з'єднати відрізками то отримується трикутник для якого ці висоти є бісектрисами кутів отриманого трикутника?

Если точка удалена на одно и то же расстояние от всех вершин, то она принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через точку пересечения его серединных перпендикуляров (в нашем случае серед. перпендикуляры совпадают с высотами).
Пусть (.) K - точка, о которой идет речь в условии,
(.) N - точка пересечения высот треугольника (ортоцентр).
Рассмотрим прямоугольный тр. ΔKNB, в котором угол при вершине N прямой. NB - 2/3 h - высоты тр. ΔABC. KB - данное нам расстояние - 10 см.
Найдем высоту: h = a√3 / 2 = 6/2 * √3² = 3*3 = 9
Тогда 2/3 h = 6.
А значит, расстояние от точки до плоскости тр.:
KN² = 10² - 6² = 64 = 8²
KN = 8.

ответ: расстояние от точки до плоскости треугольника равно 8 см

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Дано: АВСД - прямоугольник, АВ=18 см
          АС, ВД = диагонали  АО=ОС=ВО=ОД
О - точка пересечения АС и ВД
угол ВОА=60 град.
Найти:  АС=ВД=?
Решение: АО=ВО, сл-но АВО - равнобедренный треугольник, угол при вершине 60 градусов, сл-но углы при основании тоже по 60 град (т.к. сумма углов треугольника - 180 град). Значит треугольник АВС - равносторонний. Стороны АВ=ВО=АО= 18 см
АС=2*18=36
ответ: Диагонали прямоугольника = 36 см.