Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Отрезок ЕС равен 1 см.
Объяснение:
Требуется найти отрезок ОС.
Дано: ΔАВС - равнобедренный;
∠А = 75°;
CD ⊥ АВ; DE ⊥ BC;
ВЕ = 3 см.
Найти: ЕС.
1. Рассмотрим ΔΔАВС - равнобедренный;
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠А = ∠С = 75°
Сумма углов треугольника равна 180°.⇒ ∠В = 180° - (75° + 75°) = 30°
2. Рассмотрим ΔDBE - прямоугольный.
∠В = 30°
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.Пусть DE = x см, тогда DB = 2x см.
По теореме Пифагора:
BD² = DE² + BE²
4x² = x² + 9
3x² = 9
x² = 3
x = √3
DE = √3 см
3. Рассмотрим ΔАDC - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠1 = 90° - ∠А = 90° - 75° = 15°
4. Рассмотрим ΔEDC - прямоугольный.
∠2 = ∠С - ∠1 = 75° - 15° = 60°
∠3 = 90° - ∠2 = 90° - 60° = 30°
Пусть ЕС = у см, тогда DC = 2у см (катет, лежащий против угла 30°)
По теореме Пифагора:
DC² = DE² + EC²
4y² = 3 + y²
3y² = 3
y² = 1
y = 1
Отрезок ЕС равен 1 см.