Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
1. Найти точку Q симметричную точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0. Уравнение прямой выразим относительно у: у = (2/3)х - 1. Точка Q, симметричная точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0, лежит на прямой, перпендикулярной заданной. Уравнение перпендикулярной прямой имеет угловой коэффициент: к₂ = -1 / к₁ = -3/2. Так как точка Р принадлежит этой прямой. то её координаты соответствуют уравнению прямой: 12,5 = (-3/2)*(-5,5) + в. Отсюда находим параметр в: в =12,5 - (-3/2)*(-5,5) = 12,5 - 8,25 = 4,25. Получаем уравнение перпендикулярной прямой: у = (-3/2)х + 4,25. Находим координаты точки К пересечения взаимно перпендикулярных прямых, приравнивая правые их части: (2/3)х - 1 = (-3/2)х + 4,25 (13/6)х = 5,25 хK = 5,25 / (13/6) = (21/4) / (13/6) = 63/26 = 2,423077, уK = (2/3)*2,42307 - 1 = 0,615385. Разность координат между точками Р и К равна: Δх = 2,423077 - (-5,5) = 7.9230769 Δу = 0,615385 -12,5 = -11.8846. Координаты симметричной точки Q на такую же величину отличаются от координат точки К: хQ = 2,42307 + 7.923076 = 10.346154, yQ = 0,61538 + -11.8846 = -11.269231.
2) Через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат. Коэффициент "к" такой прямой равен 1 при х = у. Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2,5;1,5) имеет вид: у = -х +(2,5+1,5) = -х + 4.
3. Лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)? Уравнение прямой, проходящей через заданные точки имеет вид: Если три точки лежат на одной прямой, то отношение Δу/Δх для двух промежутков должно быть равным: Δу(ВА) = -1-(-4) = 3 Δх(ВА) = 2-(-3) = 5 к = 3/5. Δу(СВ) =20-(-1) = 21 Δх(СВ) = 0-2 = -2 к = 21/-2 - не совпадают.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
Уравнение прямой выразим относительно у:
у = (2/3)х - 1.
Точка Q, симметричная точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0, лежит на прямой, перпендикулярной заданной.
Уравнение перпендикулярной прямой имеет угловой коэффициент:
к₂ = -1 / к₁ = -3/2. Так как точка Р принадлежит этой прямой. то её координаты соответствуют уравнению прямой:
12,5 = (-3/2)*(-5,5) + в. Отсюда находим параметр в:
в =12,5 - (-3/2)*(-5,5) = 12,5 - 8,25 = 4,25.
Получаем уравнение перпендикулярной прямой: у = (-3/2)х + 4,25.
Находим координаты точки К пересечения взаимно перпендикулярных прямых, приравнивая правые их части:
(2/3)х - 1 = (-3/2)х + 4,25
(13/6)х = 5,25
хK = 5,25 / (13/6) = (21/4) / (13/6) = 63/26 = 2,423077,
уK = (2/3)*2,42307 - 1 = 0,615385.
Разность координат между точками Р и К равна:
Δх = 2,423077 - (-5,5) = 7.9230769
Δу = 0,615385 -12,5 = -11.8846.
Координаты симметричной точки Q на такую же величину отличаются от координат точки К:
хQ = 2,42307 + 7.923076 = 10.346154,
yQ = 0,61538 + -11.8846 = -11.269231.
2) Через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат.
Коэффициент "к" такой прямой равен 1 при х = у.
Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2,5;1,5) имеет вид: у = -х +(2,5+1,5) = -х + 4.
3. Лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)?
Уравнение прямой, проходящей через заданные точки имеет вид:
Если три точки лежат на одной прямой, то отношение Δу/Δх для двух промежутков должно быть равным:
Δу(ВА) = -1-(-4) = 3
Δх(ВА) = 2-(-3) = 5 к = 3/5.
Δу(СВ) =20-(-1) = 21
Δх(СВ) = 0-2 = -2 к = 21/-2 - не совпадают.