Проведем прямую из вершины С параллельно диагонали BD до пересечения с продолжением АD в точке Е.
∠АСЕ =∠АОD как соответственные при пересечении параллельных ВD и СЕ и секущей АС. ⇒ ∆ АСЕ - прямоугольный.
В четырехугольнике ВСЕD противоположные стороны параллельны. ВСЕD - параллелограмм и ВС=DE. ⇒
АЕ=АD+DE. По т.Пифагора квадрат гипотенузы АЕ равен сумме квадратов катетов АС и СЕ. А так как АЕ равна сумме оснований, а СЕ=BD, то
АС²+ВD²=(AD+BC)², что и требовалось доказать.
ΔBOC∞ΔAOD по 2 равным накрест лежащим углам.
Тогда BO/OD=CO/OA=k-коэффициент подобия
Следовательно BO=k*OD,CO=K*OA
Найдем
(BC+AD)²=(√(BO²+OC²)+√(OA²+OD²))²=√(√k²OD²+k²OA²)+√(OA²+OD²))²=
=(√(OA²+OD²))²*(k+1)²=(OA²+OD²)*(k+1)²
Найдем
AC²+BD²=(BO+OD)²+(OC+OA)²=(kOD+OD)²+(kOA+OA)²=
=OD²(k+1)²+OA²(k+1)²=(OD²+OA²)*(k+1)²
Получили
(BC+AD)²=AC²+BD² (если равны правые части,то равны и левые)
Проведем прямую из вершины С параллельно диагонали BD до пересечения с продолжением АD в точке Е.
∠АСЕ =∠АОD как соответственные при пересечении параллельных ВD и СЕ и секущей АС. ⇒ ∆ АСЕ - прямоугольный.
В четырехугольнике ВСЕD противоположные стороны параллельны. ВСЕD - параллелограмм и ВС=DE. ⇒
АЕ=АD+DE. По т.Пифагора квадрат гипотенузы АЕ равен сумме квадратов катетов АС и СЕ. А так как АЕ равна сумме оснований, а СЕ=BD, то
АС²+ВD²=(AD+BC)², что и требовалось доказать.