Докажите, что в трапеции ABCD S2 = (S1+S3)/2 (рис. 22.9).

учебник геометрии за 8 класс,
номер 18, глава 3: Площади
S​

АС1/С1В=1/1, ВА1/А1С=3/7, АВ1/В1С=1/3,  S A1B1C1=S ABC - S AC1B1 - S C1BA1 - S A1CB1, обе части уравнения делим на S ABC

S A1B1C1 / S ABC = 1 - (S AC1B1/S ABC) - (S C1BA1/ S ABC) - (S A1CB1/S ABC)

S ABC=1/2*AB*AC*sinA, S AB1C1=1/2*AC1*AB1*sinA, AB=AC1+C1B=1+1=2, AC=AB1+B1C=1+3=4, S AB1C1/S ABC=(AC1*AB1)/(AB*AC)=(1*1)/(2*4)=1/8,

S ABC=1/2*AB*BC*sinB, S C1BA1=1/2*C1B*BA1*sinB, BC=BA1+A1C=3+7=10, 

S C1BA1/S ABC=(C1B*BA1)/(AB*BC)=(1*3)/(2*10)=3/20, 

S ABC=1/2*AC*BC*sinC, S A1CB1=1/2*A1C*B1C*sinC, S A1CB/S ABC=(A1C*B1C) / (AC*BC)=(7*3)/(4*10)=21/40,

S A1B1C1/S ABC=1-1/8-3/20-21/40=8/40=1/5, или S ABC/S A1B1C1=5/1

ответы и объяснения:

1. ∠ac-cb=25°;

Пусть ∠cb=x°. Тогда ∠ac=x+25°. Сумма углов равна 180° (развернутый угол).

x+x+25°=180°;

2x=180°-25°;

2x=155°;

x=155°/2=77,5° - ∠cb.

x+25°=77,5°+25°=102,5° - ∠ac.

***

2. ∠kn=x°. Тогда ∠mk=8x°;

x+8x=180°;

9x=180°;

x=180°/9=20° - ∠kn.

8x=20*8=160° - ∠mk.

***

3. Пусть ∠CBD=4x, а ∠ADC=5x.

Тогда 4x+5x=180°;

9x=180°;

x=20°;

∠CDB=20°*4=80°;

∠ADC=20*5=100°.

***

4. Пусть ∠KPN=x. Тогда ∠MPK=2,6x.

x+2,6x=180°;

3,6x=180°;

x=180°/3,6=50° - ∠KPN;

2,6x=50°*2,6=130°.

***

5. ∠RLS=80% от ∠PLR;

Если ∠PLR=x, то ∠RLS=0,8x;

x+0,8x=180°;

1,8x=180°;

x=180°/1,8=100° - ∠PLR;

0,8x=100°*0,8=80°.

***

6. ∠PKS=∠SKN=40°/2=20°;

∠MKP=180°-40°=140°;

∠MKS=∠MKP+∠PKS=140°+20°=160°.