Докажите что: а)когда в прямоугольном триугольнике один катет в два раза меньше чем гипотенуза, то менший угол равен 30° б)когда в триугольнике медиана в два раза меньше чем сторона, к которой она проведена, то триугольник- прямоугольный! заранее !
1) Дано: прямоугольный треугольник АВС. С=90 град. АВ - гипотенуза, АС катет, причем АВ=2АС. Доказать, что угол В=30 град. Док-во: продолжим прямую АС и отметим на ней точку К, АС=СК. Треугольники АВС и ВСК равны (по двум катетам - признак равенства прямоугольных треугольников). Тогда равны и стороны АВ и ВК. То есть треугольник АВК - равносторонний ( все углы по 60 град) и ВС является одновременно высотой, медианой и биссектрисой. То есть угол АВС=половине угла АВК = 60:2=30 град. ч.т.д. 2) Дано: АВС, СК - медиана к стороне АВ, т.е.АК=КВ. По условию СК=1/2*АВ=АК. Имеем два равнобедренных треугольника АКС и КСВ. Углы при основании равнобедренных треугольников равны(уг.САК=уг.АСК=α уг.КСВ=уг.СВК=β), Сумма углов треугольника =180 град 2α+2β=180 2(α+β)=180 α+β=90. То есть угол С=α+β=90 град.
Док-во: продолжим прямую АС и отметим на ней точку К, АС=СК. Треугольники АВС и ВСК равны (по двум катетам - признак равенства прямоугольных треугольников). Тогда равны и стороны АВ и ВК. То есть треугольник АВК - равносторонний ( все углы по 60 град) и ВС является одновременно высотой, медианой и биссектрисой. То есть угол АВС=половине угла АВК = 60:2=30 град. ч.т.д.
2) Дано: АВС, СК - медиана к стороне АВ, т.е.АК=КВ. По условию СК=1/2*АВ=АК. Имеем два равнобедренных треугольника АКС и КСВ. Углы при основании равнобедренных треугольников равны(уг.САК=уг.АСК=α уг.КСВ=уг.СВК=β), Сумма углов треугольника =180 град 2α+2β=180
2(α+β)=180 α+β=90. То есть угол С=α+β=90 град.