Доказать, что геометрическое место центров кругов, касающихся внешним образом данной окружности и проходящих через одну и ту же точку, есть гипербола.

Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД
Рассмотрим треугольник АВЕ:
Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи)
По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту):
ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см.
Теперь рассмотрим треугольник BДE:
ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см.
ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см

Найдем высоту данного  правильного треугольника со стороной 10,3 м:
Н=10,3*sin60º=8,92 м 
Проведем  в треугольнике через 1 м  прямые, параллельные основанию ( им может быть любая сторона равностороннего треугольника). 
При этом получим  9 уровней, или подобные треугольники,  высота каждого из которых на  1 м  меньше высоты предыдущего. 
Вычислив стороны каждого треугольника по формуле
а=h/sin 60º, 
получим длину стороны второго треугольника 9,4, третьего - 7,99, четвертого и следующих соответственно  6,83,..5,68,..4,52,..3,73,..2,18,..1,03 ( в  метрах).
Ясно, что на каждом уровне поместится столько квадратов размером 1*1, сколько целых метров входит в длину стороны следующего по порядку треугольника.  ( см. рисунок)
Итак, всего квадратов площадью 1м² в данный треугольник поместится  
9+7+6+5+4+3+2+1=37 ( квадратов)