Длина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды равна 13.
а высота пирамиды равна 12. Найдите длину
диагонали основания
этой пирамиды.

Показать ответ

Ответ:

Sashenka585888

16.05.2020 12:46

Пусть дан треугольник АВС, ВМ - его медиана.

АС:ВМ=3:2

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Следовательно, медиана делит основание АС на АМ=МС, а точка на ней, равноудаленная от сторон треугольника, - центр вписанной в него окружности. ОМ=ОК=r.

Примем коэффициент отношения основания и высоты равным а.

Тогда ВМ=2а. и МС=АС:2=3а:2=1,5а,

По т. Пифагора найдем боковую сторону.

ВС=√(BM²+MC²)=√(4a²+2,25a²)=2,5a

АВ=ВС.

Р=2•2,5а+3а=8а

8а=96,⇒ а=12 см

ВМ=2•12=24 см

МС=1,5•12=18 см, АС=36 см

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности

r=S:p, где р- полупериметр. р=96:2=48 см

r=ВМ•СМ:48=24•18:48=9 см

Длина окружности L=2πr=18π см

Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, а основание и высота, проведенная к нему, относят

0,0(0 оценок)

Ответ:

conyp2005

05.01.2020 11:15

Пусть AC - большая диагональ ромба; AC = d и острый угол $\tt \angle BAD=\alpha$ . Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

$\tt AO=OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{d}{2};~~~\angle BAO=\angle OAD=\dfrac{\alpha}{2}$

Из прямоугольного треугольника AOD: $\tt \cos \angle OAD=\dfrac{OA}{AD}$ отсюда выразим AD: $\tt AD=\dfrac{OA}{\cos \angle OAD}=\dfrac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$

Площадь ромба равна S = a*h, с другой стороны: S = a²*sinα, приравнивая площади, получим h = a * sin α, где а - сторона ромба.

$\tt h=AD\cdot\sin\alpha=\dfrac{d\sin\alpha}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$ - высота ромба.

Высота ромба является диаметром вписанной окружности в ромб, тогда радиус вписанной окружности равен $\tt r=OK=\dfrac{h}{2}=\dfrac{d\sin\alpha}{4\cos\frac{\alpha}{2}}$

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник SOK и найдем в нем SK - апофему пирамиды: $\tt \cos \beta=\dfrac{OK}{SK}~~\Rightarrow~~~ SK=\dfrac{OK}{\cos \beta}=\dfrac{d\sin\alpha}{4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\beta}$

Найдем теперь площадь боковой поверхности пирамиды

$\tt S_{bok}=\dfrac{1}{2}\cdot P_{OCH}\cdot SK=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot\dfrac{d}{2\cos\frac{\alpha}{2}}\cdot\dfrac{d\sin\alpha}{4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\beta}=\dfrac{2d^2tg\frac{\alpha}{2}}{\cos\beta}$