Диктант. решение треугольников
1. дан треугольник cdm [все]. используя теорему косину-
сов, запишите, чему равен квадрат его стороны см [се].
2. в треугольнике abc (bcd] сторона ав [всі равна 3 [4],
сторона вс [cd] равна 5 [3, угол в [с] равен 30° [45°]. найдите
сторону ac (bd].
3. квадрат стороны x [а] в треугольнике меньше (больше]
суммы квадратов двух других сторон. против какого угла, острого,
прямого или тупого лежит сторона x [а] ?
4. в треугольнике abc угол с тупой [mқр угол м —
прямой). сравните стороны ав и вс [мк и кр].
5. в треугольнике klm сторона kl равна 10, угол мравен
45°, угол кравен 60°. [в треугольнике abc сторона ав равна 20,
угол с равен 30°, угол в равен 120°.] найдите сторону lm jac).
6. в треугольнике abc сторона ав равна 4 [7], угол в равен
45° [60°], угол с равен 30° [45°]. найдите стороны bc, ac и
угол а.
7. в треугольнике abc сторона ав равна 5 [4] , сторона вс
равна 7 [5], угол в равен 135° [120°]. найдите сторону ac и сину-
сы углов а и с.
8. в треугольнике abc сторона ав равна 2, сторона вс равна
4 [3], сторона ac равна 5 [4]. найдите косинусы углов этого
треугольника,
Дано:
ABCD — прямоугольник,
AC ∩ BD=O,
∠AOD=φ.
Найти: ∠ACD.
Решение:
1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).
ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven
2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Тогда
\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]
\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]
(как угол при основании равнобедренного треугольника).
\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]
ответ: φ/2.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.
∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,
∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.
Задача 2. (обратная к задаче 1)
Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Угол при вершине равнобедренного треугольника
∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.
2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),
∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.
ответ: 2α.
Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.
Высота пирамиды - это высота равнобедренного
прямоугольного треугольника, она равна половине его гипотенузы и равна H = а√2/2 = а/√2.
Так как гипотенуза основания пирамиды - диагональ квадрата, то сторона его равна а√2/√2 = а.
Это означает, что все рёбра пирамиды равны а, боковые грани - равносторонние треугольники.
Отсюда площадь основания So = a², периметр основания
Р = 4а.
Находим апофему боковой грани: А = а*cos30 = a√3/2.
Площадь боковой поверхности пирамиды:
Sбок = (1/2)А*Р = (1/2)*(а√3/2)*4а = а²√3.
Объём пирамиды V=(1/3)So*H = (1/3)*a²*( а/√2) =
= a³/3√2.