Пересечение двух сфер Линия пересечения двух сфер есть окружность .
Объяснение:
Пусть O1 и O2 – центры сфер и A – их точка пересечения. Проведем через точку A плоскость α, перпендикулярную прямой O1O2.
Обозначим через B точку пересечения плоскости α с прямой O1O2. По теореме сечение шара плоскостью плоскость α пересекает обе сферы по окружности K с центром B, проходящей через точку A. Таким образом, окружность K принадлежит пересечению сфер.
Докажем, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности K. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности K. Проведем плоскость через точку X и прямую O1O2 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Она пересечет сферы по окружностям с центрами O1 и O2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности K, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения.
Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника
Пересечение двух сфер Линия пересечения двух сфер есть окружность .
Объяснение:
Пусть O1 и O2 – центры сфер и A – их точка пересечения. Проведем через точку A плоскость α, перпендикулярную прямой O1O2.
Обозначим через B точку пересечения плоскости α с прямой O1O2. По теореме сечение шара плоскостью плоскость α пересекает обе сферы по окружности K с центром B, проходящей через точку A. Таким образом, окружность K принадлежит пересечению сфер.
Докажем, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности K. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности K. Проведем плоскость через точку X и прямую O1O2 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Она пересечет сферы по окружностям с центрами O1 и O2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности K, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения.
Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника
Объяснение:
МКНР -выпуклый четырехугольник ,МН=а , КР=b ,О-точка пересечения диагоналей , ∠КОН=45°.
Пусть А, В, С, Д-середины сторон. Тогда
АД-средняя линия ΔМВН , АД=1/2*а;
ВС-средняя линия ΔМРН , ВС=1/2*а;
АВ-средняя линия ΔКНР , АВ=1/2*b ;
СД-средняя линия ΔКМР , АВ=1/2*b . Получили , что противоположные стороны попарно равны⇒ АВСД-параллелограмм , по признаку параллелограмма.
S=a*b*sinα , Найдем угол α между сторонами параллелограмма.
Т.к АД║МН , АВ║КР , по свойству средней линии , то синяя фигура на чертеже -параллелограмм, у которой противоположные углы равны⇒∠ДАВ=45°.
S=АД*АВ*sin∠ДАВ =1/2*а*1/2*b*sin45°=1/4*ab*√2/2=(ab√2)/8.