На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственные точки M N P и Q так что, AM=СP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD, MNPQ - параллелограммы.
***
Обозначим равные отрезки одинаковыми буквами:
АМ=СР=а
BN=DQ=b
BM=DP=c
NC=QA=d
АВ=а+с
СD=a+c ⇒ AB=CD
BC=b+d
AD=b+d ⇒ BC=AD
В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. ⇒
АВСD - параллелограмм ( 2-й признак)
–––––––––––––––––––––
Рассмотрим ∆ MBN и ∆ PDQ
∠ А=∠С как противоположные углы параллелограмма АВСD.
Содержащие эти углы стороны равны по условию ⇒
∆ MBN = ∆ PDQ по 1-му признаку.⇒ MN=PQ
Аналогично доказывается равенство сторон MQ и NP
В четырехугольнике MNРQ противоположные стороны равны ⇒ MNРQ - параллелограмм.
На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственные точки M N P и Q так что, AM=СP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD, MNPQ - параллелограммы.
***
Обозначим равные отрезки одинаковыми буквами:
АМ=СР=а
BN=DQ=b
BM=DP=c
NC=QA=d
АВ=а+с
СD=a+c ⇒ AB=CD
BC=b+d
AD=b+d ⇒ BC=AD
В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. ⇒
АВСD - параллелограмм ( 2-й признак)
–––––––––––––––––––––
Рассмотрим ∆ MBN и ∆ PDQ
∠ А=∠С как противоположные углы параллелограмма АВСD.
Содержащие эти углы стороны равны по условию ⇒
∆ MBN = ∆ PDQ по 1-му признаку.⇒ MN=PQ
Аналогично доказывается равенство сторон MQ и NP
В четырехугольнике MNРQ противоположные стороны равны ⇒ MNРQ - параллелограмм.
1)Дано: ∆АВС - равнобедренный.
∠В = 96°
Найти:
∠А, ∠С.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
оба угла не могут быть по 96°, так как сумма углов треугольника равна 180°
Поэтому ∠В = 96°
180 - 96 = 84° - сумма углов при основании. (На рисунке углы при основании А и С)
Так как ∠А = ∠С => ∠А = ∠С = 84 ÷ 2 = 42°
ответ: 42°, 42°.
2) Дано:
∆CDE
∠E = 32°
CF - биссектриса.
∠CFD = 72°
Найти:
∠D
Сумма смежных углов равна 180°
∠CFD смежный с ∠CFE => ∠CFE = 180 - 72 = 108°
Сумма углов треугольника равна 180°
=> ЕCF = 180 - (108 + 32) = 40°
Так как СF - биссектриса => ∠С = 40 × 2 = 80°
Сумма углов треугольника равна 180°
=> ∠D = 180 - (32 + 80) = 68°
ответ: 68°