Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).
Прямоугольные треугольники - единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.
Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)
Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер.
Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.
Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.
Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.
Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес ти Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на
4*х - 3*х = х;
Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть
x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;
2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на
21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)
Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть
Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).
Прямоугольные треугольники - единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.
Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)
Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:
AD/DC = DC/BD, то есть
DC2=AD*BD
DC2=9*16
DC=12 см
Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер.
Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.
Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.
Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.
Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес ти Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на
4*х - 3*х = х;
Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть
x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;
2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на
21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)
Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть
18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;