Диагонали параллелограмма abcd пересекаются в точке о.докажите что сумма площадей треугольников aob и cod равна сумме площадей треугольников aod и boc.
Дан параллелограмм АВСD. ВD и АС - диагонали. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Обозначим АО=ОС=п, ВО=ОD=m. Площади треугольников можно вычислить по формуле S=1/2ab*sinα (половина произведения сторон на синус угла между ними). Тогда : S(АОВ)=1/2mn*sinα S(COD)=1/2mn*sinα S(AOD)=1/2mn*sinβ S(BOC)=1/2mn*sinβ Так как синусы углов α и β равны, то получим S(AOB)+S(COD)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα S(AOD)+S(BOC)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα Получили, что суммы площадей указанных треугольников равны mn*sinα=mn*sinα
S(АОВ)=1/2mn*sinα S(COD)=1/2mn*sinα
S(AOD)=1/2mn*sinβ S(BOC)=1/2mn*sinβ
Так как синусы углов α и β равны, то получим
S(AOB)+S(COD)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
S(AOD)+S(BOC)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
Получили, что суммы площадей указанных треугольников равны
mn*sinα=mn*sinα