Диагональ трапеции делит среднюю линию трапеции на два отрезка, относящиеся, как 3 : 8. найти основания трапеции, если разность этих отрезков равна 10 см.

Введем обозначения: ABCD - вершины трапеции с основаниями AD и BC. Диагональ AC. Средняя линия MK. Точка пересечения диагонали и средней линии O.
Длины ее фрагментов средней линии из условия равны
|KO| = 3|KN|/12
|ON| = 8|KN|/12
а разница 
|ON| - |KO| = 8|KN|/12 - 3|KN|/12 = 5|KN|/12 = 10 см
то есть |KN| = 12*10/5 = 24 см
откуда нетрудно найти и фрагменты средней линии
|KO| = 3|KN|/12 = 3*24/12 = 6
|ON| = 8|KN|/12 = 8*24/12 = 16
Нетрудно показать, что длины оснований вдвое больше этих отрезков:
|AD| = 2*|ON| = 32
|BC| = 2*|KO| = 12