ДАЮ 1) Через кінці відрізка MN і його середину К проведено паралельні прямі, які
перетинають деяку площину а в точках М1N1К1. Знайдіть довжину відрізка КК1, якщо відрізок NM не перетинає площину а і ММ1 = 22 см, NN1 = 8 cм.
2) Площина а перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВС у точках М і К та
паралельна стороні АС, МК = 4 см, МВ : МА = 2: 3. Знайдіть АС
3) Через точку К, що лежить між двома паралельними площинами α і β, проведено дві прямі k і m, які перетинають площину α в точках А1 і В1, площину β – в точках А2 і В2 відповідно. Знайдіть довжину відрізка КВ1, якщо В1В2 = 15см, А1К : А1А2 = 1:3.
4) Площина трикутника MNK паралельна площині а . Світло, що виходить із
точки S, утворює на площині а тінь від трикутника MNK. Обчислити площу
трикутника MNK, якщо тінню є трикутник зі сторонами 30 см, 25 см, 25 см і SM :
SM =2:3.
Для простоты записи пусть точки обозначены:
A(9; 5; 5), B(-3; 7; 1), C(5; 7; 8), D(6; 9; 2).
а) Для получения уравнения плоскости ABC нужно найти смешанное произведение векторов AB и AC.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 9 y - 5 z - 5
-3 - 9 7 - 5 1 - 5
5 - 9 7 - 5 8 - 5 = 0
x - 9 y - 5 z - 5 | x - 9 y - 5
-12 2 -4 | -12 2
-4 2 3 | -4 2 =
6(x - 9) + 16(y - 5) - 24(z - 5) + 36(y - 5) + 8 (x - 9) + 8(z - 5) =
= 6x - 54 + 16y - 80 - 24z + 120 + 36y - 180 + 8x - 72 + 8z - 40 =
= 14x + 52y - 16z - 306 = 0 или, сократив на 2:
7x + 26y - 8z - 153 = 0.
Подсчёт произведен методом "косых полосок".
б) Находим вектор АВ: (-3-9; 7-5; 1-5) = (-12; 2; -4).
Уравнение АВ: (x - 9)/(-12) = (y - 5)/2 = (z - 5)/(-4).
в) Нормальный вектор DM определяем из уравнения плоскости АВС.
DN = (7; 26; -8) - он будет направляющим вектором DM.
Если известна некоторая точка пространства (примем точку D), принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
( (x - 6)/7) = ((y - 9)/26) = ((z - 20/(-8).
г) Направляющий вектор заданной прямой CN, параллельной АВ, будет равен направляющему вектору АВ: (-12; 2; -4).
Подставляем координаты точки С:
Уравнение CN: (x - 5)/(-12) = (y - 7)/2 = (z - 8)/(-4).
Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1;
Сразу видно две пары подобных трегольников
Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает
CA2/AC1 = CP/PC1;
Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает
CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1;
То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B)
то есть
CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B;
то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).