Даны угол и две точки . найдите точку .принадлежащую углу, равно удалённую от его сторон и равно удалённую от двух данных точек . сколько решений может иметь ?
Треугольник АВС, уголС=90, АВ=15 - гипотенуза, К - точка касания на АВ, точка Н касание на АС, точка М - касание на ВС, О -центр, проводим радиусы перпендикулярные точкам касания, четырехугольник НОМС - квадрат, все углы прямые, ОН=ОМ =радиусу, СН=СМ как касательные из одной точки, следовательно ОН=ОМ=СМ=СН=3,
ВМ= а =ВК как касательные из одной точки, АК = 15 -а =АН
АС = АН+СН=15-а+3=18-а, ВС = СМ+ВМ=а+3
АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате
225 = 324 - 36а + а в квадрате + а в квадрате +6а +9
Подробно.
Пусть данный ромб АВСД.
Высота ВН=12 см, диагональ ВД=13 см.
Стороны ромба равны.
Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
∆ АВД=∆ СВД.
Проведем в равнобедренном ∆ АВД высоту АМ к стороне ВД и высоту ВН к стороне АД.
В ∆ ВНД катет НД=5 ( отношение сторон из Пифагоровых троек 5,12,13, можно проверить по т.Пифагора).
ДМ=МВ=13:2=6,5 см, т.к. АМ высота и медиана равнобедренного треугольника ВАД.
Прямоугольные ∆ ВНД и ∆ АМД подобны - имеют общий острый угол при Д.
Из подобия следует:
АМ:ВН=ДM:ДH.
АМ•5=12•6,5
AM=15,6 см
S ∆ АВД=АМ•ВД/2
S АВСД= 2 S ∆ АВД.
S АВСД=АМ•ВД=15,6•15=202,8 см²
ВМ= а =ВК как касательные из одной точки, АК = 15 -а =АН
АС = АН+СН=15-а+3=18-а, ВС = СМ+ВМ=а+3
АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате
225 = 324 - 36а + а в квадрате + а в квадрате +6а +9
2а в квадрате -30а + 108=0
а = (30+-корень(900-864))/4
а =9 = ВМ, ВС=9+3=12, АН=15-9=6, АС=6+3=9
ВК=9
АК=6