Даны точки M(3;1); N(4;-2); E(1,5;-1,5); F(0;-3).
___ ___
1. Найдите координаты векторов MN и EF.
__ ___
2. Найдите вектор, равный EF – MN.
___ __
3. Найдите косинус угла между векторами MN и EF.
___ ___ ___ __
4. Пусть вектор MD= 2 ∙ MN, а вектор FP = 3∙ FE. Найдите координаты точек D и P.

5. Постройте в координатной плоскости четырехугольник MFDP.
__ ___ ___ ___
Выразите вектор FP через векторы MF и MP, а вектор MD через
___ __
векторы MP и PD.
6. Докажите, что ∆ PMD – прямоугольный.

Квадрат это ромб у которого все углы прямые или прямоугольник у которого смежные стороны равны.
Можно конечно построить график и доказать на полученном чертеже , мол стороны попарно параллельны и все стороны равны.
А можно найти длины каждой стороны ( например АВ , АВ имеет координаты ( из координаты конца, отнимаем соответствующие координаты начала, АВ( 5-1;2-2) АВ(4;0). А длина  АВ находится как корень квадратный из суммы квадратов координат АВ=√4²+0²=4, аналогично с другими сторонами).
А если посмотреть внимательно на координаты точек, то можно увидеть , что АС и ВД соответственно лежат на прямых х=1 и х=5, которые параллельны оси ОУ, а значит и друг другу. А АВ и СД  на прямых у=2 и у=-2, параллельных оси ОХ, а значит и друг другу. Получаем, что у данного четырехугольника все стороны равны и попарно параллельные + все углы прямые, т.е мы получили квадрат ч.т.д.

Есть циркуль и линейка. 
1) Построить окружность любого радиуса R. Этот радиус ещё пригодится, поэтому пусть он останется на циркуле - менять его нельзя.
Через центр окружности в любом направлении провести диаметр AB.
2) Из точки А вниз и из точки В вверх поставить циркулем засечки на окружности  -  точки M и N.       AM=BN=R
3) Через точки A,M,N провести прямые AM  и AN  
4) Из точки А на прямой AN поставить циркулем засечку - точку К. Из точки К сделать циркулем ещё одну засечку на окружности - точку С.     AK=KC=R
5)  Через точки А и С провести прямую  AC.
Угол между прямыми AC и AM равен 75°

Пояснение к построению
2) Когда из точки А на окружности делается засечка, то получается равносторонний треугольник ΔAOM со сторонами, равными R. Углы равностороннего треугольника равны по 60° ⇒
∠MAO = 60°.  Аналогично ∠OBN = 60°
ΔANB вписан в окружность по диаметру  ⇒  ΔANB - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒
∠NAB = 90°-∠ABN = 90°-60° = 30°
4) Когда из точки А делается засечка К, а затем из точки К засечка С, то получается ромб AKCO со сторонами, равными радиусу R. Диагонали ромба делят углы ромба пополам ⇒
∠CAO = ∠CAK = ∠NAB/2 = 30°/2 = 15°
5) ∠CAM = ∠CAO + ∠MAO = 15° + 60° = 75°