Даны точки А,B , C, D – вершины параллелограмма.  А(1; 3), В(2; 5) иС(5; –2).  Определите координаты точки D( x ; y).

​

1. Так как DE-биссектриса угла D, то углы CDE и ADE будут равны между собой по 60 градусов.
2. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны. Отрезок BE принадлежит BC, а BC параллельна AD, следовательно BE будет параллелен AD.
3. Работаем в четырехугольнике ABED: боковые стороны AB и ED не параллельны друг другу, а BE и AD параллельны(из 2), отсюда следует, что ABED-трапеция(по определению), но угол А равен 60 градов по условию, а угол EDA также равен 60 градусов(так как ED-биссектриса), следовательно ABED-равноберенная трапеция.
4. Работаем в треугольнике DEC: угол CDE в нем равен 60 градусов(из 1), а угол DCE будет равен углу А, т.е. 60 градусов(свойство параллелограмма). Отсюда следует, что треугольник DEC-равносторонний, тогда сторона EC будет равна 6.
5.BE=BC-EC=6
6.Высоту BH найдем из прямоугольного треугольника ABH, она будет равна 3 корня из 3. Площадь будет равна 36 корней из 3, а вторая высота 6 корней из 3.
7. Радиус описанной окружности около треугольника CDE равен 2 корня из 3. Тогда длина окружности будет равна 4 корня из 3 
8. Большую диагональ можно найти через теорему косинусов, она будет равна 6 корней из 7.
ОТВЕТ:1);;
2)Равносторонний;
3)

ответ: 1) 70*, 110*, 70*, 110*.

2) 50*, 130*, 50*, 130*.

3) 30*,150*, 30*, 150*.

Объяснение:

Сумма углов в четырехугольнике (а параллелограмм - четырехугольник) равно 360*.

Кроме того противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной из сторон равна 180*.

Пусть угол А - острый, а угол В - тупой.

Значит

1) ∠В-∠А=40*. То есть ∠В больше ∠А на 40*.

Пусть ∠А=х, тогда ∠В=х+40. В сумме они равны 180*.

х+х+40=180*;

2х=140*;

х=70* - ∠А;

х+40*=70*+40*=110* - ∠В.

Так как противоположные углы в параллелограмме равны, то:

∠С=∠А=70*;

∠D=∠B=110*

Проверим:

70*+110*+70*+110*=140*+220*=360*. Все верно.

2)  ∠В-∠А=80*. То есть угол В на 80* больше угла А.

∠А=х, ∠В=х+80*.

х+х+80*=180*

2х=100*;

х=50* - ∠А;

х+80*=50*+80*=130* - ∠В.

∠А=∠С=50*;

∠В=∠D=130*.

Проверим:

50*+130*+50*+130*=100*+260*=360*. Все верно.

3) ∠В-∠А=120*. Значит ∠В больше ∠А на 120*.

∠А=х, ∠В=х+120*.

х+х+120*=180*.

2х=60*;

х=30* - ∠А;

х+120*=30*+120*=150* - ∠В.

∠А=∠С=30*;

∠В=∠D=150*.

Проверим:

30*+150*+30*+150*=60*+300*=360*. Все верно.