Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8).
Докажите, что прямая DA перпендикулярна плоскости АВС

Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8).

Для составления уравнения плоскости АВС используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0   y - (-1)       z - 2

1 - 0   (-2) - (-1)   3 - 2

3 - 0   2 - (-1)   (-2) - 2

 = 0

x - 0        y - (-1) z - 2

 1           -1            1

 3           3           -4

 = 0

(x - 0)  (-1·(-4)-1·3)  -  (y - (-1))  (1·(-4)-1·3)  +  (z - 2)  (1·3-(-1)·3)  = 0

1 x - 0  + 7 y - (-1)  + 6 z - 2  = 0

x + 7y + 6z - 5 = 0.

Нормальный (то есть перпендикулярный) вектор это плоскости равен:

n = (1; 7; 6).

Находим направляющий вектор прямой ДА.

ДА = (0-1=-1; -1-6=-7; 2-8=-6) = (-1; -7; -6).

Как видим, вектор ДА совпадает с нормальным вектором плоскости, только имеет обратное направление.

Но прямая ДА всё равно перпендикулярна плоскости, проходящей через точки А, В и С.