Даны координаты вершин треугольника abc: a(-1; -5), в (-3; 3), c(5; 1). докажите, что треугольник abc равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины в.
1) Пусть F - точка симметричная А, относительно прямой СD. 2) Проведем окружность с центром B и радиусом BF до пересеченеия с прямой CD в точках E1 и E2, причем пусть E1 ближе к А, чем E2. 3) Пусть M1 и M2 - точки пересечения биссектрис углов E1BF и E2BF с прямой СD соответственно.
Тогда точка М1 будет искомой, если D и E2 лежат по одну сторону от M1, а С по другую. Если же D и E1 лежат по одну сторону от M2, а C - по другую, то искомой точкой будет М2. В остальных случаях требуемой точки нет.
Доказательство: Пусть, например, D и E2 лежат по одну сторону от M1, тогда если К - пересечение прямой BM1 c отрезком FE1, то ∠BM1D=∠KM1E1=0,5∠FM1E1=0,5AM1C, что и требовалось. Первое равенство здесь т.к. углы вертикальные, второе - т.к. треугольник FBE1 равнобедренный, а BK - его биссектриса, высота и медиана. Третье равенство верно, т.к.∠FM1E1=∠AM1C по построению точки F. Черетеж к этому доказательству в картинке.
1. Найти точку Q симметричную точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0. Уравнение прямой выразим относительно у: у = (2/3)х - 1. Точка Q, симметричная точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0, лежит на прямой, перпендикулярной заданной. Уравнение перпендикулярной прямой имеет угловой коэффициент: к₂ = -1 / к₁ = -3/2. Так как точка Р принадлежит этой прямой. то её координаты соответствуют уравнению прямой: 12,5 = (-3/2)*(-5,5) + в. Отсюда находим параметр в: в =12,5 - (-3/2)*(-5,5) = 12,5 - 8,25 = 4,25. Получаем уравнение перпендикулярной прямой: у = (-3/2)х + 4,25. Находим координаты точки К пересечения взаимно перпендикулярных прямых, приравнивая правые их части: (2/3)х - 1 = (-3/2)х + 4,25 (13/6)х = 5,25 хK = 5,25 / (13/6) = (21/4) / (13/6) = 63/26 = 2,423077, уK = (2/3)*2,42307 - 1 = 0,615385. Разность координат между точками Р и К равна: Δх = 2,423077 - (-5,5) = 7.9230769 Δу = 0,615385 -12,5 = -11.8846. Координаты симметричной точки Q на такую же величину отличаются от координат точки К: хQ = 2,42307 + 7.923076 = 10.346154, yQ = 0,61538 + -11.8846 = -11.269231.
2) Через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат. Коэффициент "к" такой прямой равен 1 при х = у. Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2,5;1,5) имеет вид: у = -х +(2,5+1,5) = -х + 4.
3. Лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)? Уравнение прямой, проходящей через заданные точки имеет вид: Если три точки лежат на одной прямой, то отношение Δу/Δх для двух промежутков должно быть равным: Δу(ВА) = -1-(-4) = 3 Δх(ВА) = 2-(-3) = 5 к = 3/5. Δу(СВ) =20-(-1) = 21 Δх(СВ) = 0-2 = -2 к = 21/-2 - не совпадают.
2) Проведем окружность с центром B и радиусом BF до пересеченеия с прямой CD в точках E1 и E2, причем пусть E1 ближе к А, чем E2.
3) Пусть M1 и M2 - точки пересечения биссектрис углов E1BF и E2BF с прямой СD соответственно.
Тогда точка М1 будет искомой, если D и E2 лежат по одну сторону от M1, а С по другую. Если же D и E1 лежат по одну сторону от M2, а C - по другую, то искомой точкой будет М2. В остальных случаях требуемой точки нет.
Доказательство: Пусть, например, D и E2 лежат по одну сторону от M1, тогда если К - пересечение прямой BM1 c отрезком FE1, то ∠BM1D=∠KM1E1=0,5∠FM1E1=0,5AM1C, что и требовалось.
Первое равенство здесь т.к. углы вертикальные,
второе - т.к. треугольник FBE1 равнобедренный, а BK - его биссектриса, высота и медиана.
Третье равенство верно, т.к.∠FM1E1=∠AM1C по построению точки F.
Черетеж к этому доказательству в картинке.
Уравнение прямой выразим относительно у:
у = (2/3)х - 1.
Точка Q, симметричная точке Р (-5.5 ; 12.5) относительно прямой 2х-3у-3=0, лежит на прямой, перпендикулярной заданной.
Уравнение перпендикулярной прямой имеет угловой коэффициент:
к₂ = -1 / к₁ = -3/2. Так как точка Р принадлежит этой прямой. то её координаты соответствуют уравнению прямой:
12,5 = (-3/2)*(-5,5) + в. Отсюда находим параметр в:
в =12,5 - (-3/2)*(-5,5) = 12,5 - 8,25 = 4,25.
Получаем уравнение перпендикулярной прямой: у = (-3/2)х + 4,25.
Находим координаты точки К пересечения взаимно перпендикулярных прямых, приравнивая правые их части:
(2/3)х - 1 = (-3/2)х + 4,25
(13/6)х = 5,25
хK = 5,25 / (13/6) = (21/4) / (13/6) = 63/26 = 2,423077,
уK = (2/3)*2,42307 - 1 = 0,615385.
Разность координат между точками Р и К равна:
Δх = 2,423077 - (-5,5) = 7.9230769
Δу = 0,615385 -12,5 = -11.8846.
Координаты симметричной точки Q на такую же величину отличаются от координат точки К:
хQ = 2,42307 + 7.923076 = 10.346154,
yQ = 0,61538 + -11.8846 = -11.269231.
2) Через точку (2.5; 1.5) провести прямую отсекающую равные отрезки на осях координат.
Коэффициент "к" такой прямой равен 1 при х = у.
Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2,5;1,5) имеет вид: у = -х +(2,5+1,5) = -х + 4.
3. Лежат ли на одной прямой три точки А(-3; -4), В(2 ;-1), С(0; 20)?
Уравнение прямой, проходящей через заданные точки имеет вид:
Если три точки лежат на одной прямой, то отношение Δу/Δх для двух промежутков должно быть равным:
Δу(ВА) = -1-(-4) = 3
Δх(ВА) = 2-(-3) = 5 к = 3/5.
Δу(СВ) =20-(-1) = 21
Δх(СВ) = 0-2 = -2 к = 21/-2 - не совпадают.