Даны две пересекающие прямые a и b и точка а, не лежащая на этих прямых. через точку а проведены прямые m и n

При чем.
В этом треугольнике две стороны равны, значит этот треугольник равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой!
То есть, биссектриса в этом треугольнике так же является и медианой, а медиана делит сторону пополам. То есть, AD и DC - равны, а значит и AD, и DC = 5 см.
Вместе, сторона AC = 10 см.

Заучи эту теорему наизусть!
В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой.
В равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой.
Смысл один.

Задача имеет два решения в любом случае.
1) Допустим угол при основании равен 42 градуса, значит другой угол при основании тоже равен 42 градуса ( так как в равнобедренном треугольнике при основании углы равны). Сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Значит третий угол будет равен 180-(42+42)= 96 градусов. 
Второй случай, когда угол не при основании равен 42 градуса. Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, сумма углов при основании будет равна 180-42=138 градусов. А так как они равны, каждый по отдельности будет равен 138:2=69. 
2) аналогично первому