Обозначим сторону основания а. Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями. Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α. sin (α/2) = √(1-cos²(α/2)) = √(1-(4/9)) = √(5/9) = √5/3 Сторона АК = (а/2)/sin(α/2) = (a/2)/(√5/3) = 3a/(2√5). Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота.Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin( 3a/(2√5)/a = arc sin 3/(2√5) = = 0.735314 радиан = 42.13041 градусов. Искомый угол при вершине равен 180-2(угла С) = 180 - 2* 42.13041 = = 95.73917 градуса.
В правильной пирамиде высота её проходит в основании через точку пересечения медиан (они же и высоты) Этой точкой медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника основания. Рассмотрим сечение пирамиды и описанного около неё шара, проходящее через боковое ребро пирамиды. Медиана (высота) основания равна 3*cos 30° = 3*√3/2. В сечении будет прямоугольный треугольник. Один из катетов его - это 2/3 медианы основания. Он равен 3*√3/2*(2*3) = √3. Второй катет - это высота пирамиды. Она равна √3*tg 30° = √3*(1/√3) = 1. Боковое ребро - это гипотенуза в рассматриваемом треугольнике. Оно равно 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2. Центр шара, как и центр описанной вокруг рассмотренного треугольника окружности, находится на пересечении перпендикуляра к середине бокового ребра и высоты пирамиды. Эта точка будет находиться ниже основания пирамиды. Радиус шара равен 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.
Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями.
Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α.
sin (α/2) = √(1-cos²(α/2)) = √(1-(4/9)) = √(5/9) = √5/3
Сторона АК = (а/2)/sin(α/2) = (a/2)/(√5/3) = 3a/(2√5).
Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота.Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin( 3a/(2√5)/a = arc sin 3/(2√5) =
= 0.735314 радиан = 42.13041 градусов.
Искомый угол при вершине равен 180-2(угла С) = 180 - 2* 42.13041 =
= 95.73917 градуса.
Этой точкой медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника основания.
Рассмотрим сечение пирамиды и описанного около неё шара, проходящее через боковое ребро пирамиды.
Медиана (высота) основания равна 3*cos 30° = 3*√3/2.
В сечении будет прямоугольный треугольник.
Один из катетов его - это 2/3 медианы основания. Он равен
3*√3/2*(2*3) = √3.
Второй катет - это высота пирамиды. Она равна √3*tg 30° = √3*(1/√3) = 1.
Боковое ребро - это гипотенуза в рассматриваемом треугольнике.
Оно равно 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.
Центр шара, как и центр описанной вокруг рассмотренного треугольника окружности, находится на пересечении перпендикуляра к середине бокового ребра и высоты пирамиды.
Эта точка будет находиться ниже основания пирамиды.
Радиус шара равен 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.