Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Мектеп оқушыларының геометриялық есептерді нашар шығаратыны белгілі.Оның бірнеше себебі бар.Біріншіденгеометриялық есептер оқушылардан шығармашылық қасиеттерді талап етеді.Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмай тұр.
Жалпы геометрияда тіктөртбұрышты,ромбыны,квадратты параллелограмнан өрбітіп дамытады.Ал трапецияны « Екі қабырғасы параллель,ал былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция деп және оның параллель қабырғалары (а,в) табандары, ал былайғы екі қабырғасы (с,d) бүйір қабырғалары деп анықтама беріледі.Трапецияның үш түрі болатындығы айтылады.(1-сурет)
1-сурет
Жоғарыда айтылғандай трапецияны да тіктөртбұрышты,ромбыны,квадрат секілді параллелограмнан таратып, трапецияның параллелограмға ұқсас түрлерінен бастап, белгілі трапецияларды айтар болсақ, трапеция тақырыбының ауқымы арта түсері анық.
Осы орайда мектебімізде үйірме сабақтарында трапецияның оқулықтарда айтыла бермейтін түрлері мен қасиеттері үйретілген еді. Солардың бірі мынадай:
1-теорема.Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса,онда трапецияның орта сызығы биіктікке тең болады.
Дәлелдеуі:Трапецияның ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең.
Жауабы: S=1024 cм22-теорема.Кез келген трапецияның екі табанының қосындысы оның диагоналдарының үлкен табанға түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: а+в= d11d12
Трапеция тең бүйірлі болғанда,оның диагональдары тең болатыны және диагональдарының үлкен табанға түсірілген проекциялары да тең болатыны белгілі. Трапецияның ауданын есептейтін формуласына қою арқылымына формула шығады.S= t*һ (1),мұндағы t- диагоналдың үлкен табанға түсірілген проекциясы, һ-трапецияның биіктігі.
2-есеп.Тең бүйірлі трапецияның диагоналы 10см-ге, ал ауданы 48см2-ге тең. Трапецияның биіктігін табыңдар
Берілгені: АС=10cм,S=48 см2
Табу керек:СН
Шешуі: ∆ ACN
AH=Оны (1) формулаға қойып,теңдігі шығады.Бұдан
(100-СН2)*СН2=2304,СН4-100СН2+2304=0
СН2=х деп алсақ,х2-100х+2304=0
Х=50
Х1=36,Х2=64.Яғни, биіктік 6см және 8см.
3-теорема.Кез келген трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы олардың үлкен табанға түсірілген проекцияларының квадраттарының сәйкес айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: d21-d22=(d11)2–(d12)2 (2)
3-есеп. Трапецияның табандары 5 пен 15-ке, ал диагоналдары 12 мен 16-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.
Берілгені:АС= 12, BD =16, BC=5, AD=15
Табу керек:S-?
Шешуі:Жоғарыдағы (2) қасиетті пайдалансақ BD2 – AC2= KD2 – AH2. Бұдан ( KD- AH) (KD+AH) = 256-144, ал (1) қасиет бойынша KD+AH=AD+BC, яғни KD+AH = 20.
Орындарына қойғанда KD- AH = 5,6 шығады KD = KH+HD, AH= KH+AK болғандықтан 5+ HD – 5 – AK = 5,6, HD – AK =5,6. Ал AK + HD =10
жүйесінен HD =7,8 табылады.
KD = 7,8 + 5=12,8.
BK2 = BD2 – KD2ВК = = 9,6Sтр ==96
4 – есеп.Тең бүйірлі трапецияның ең үлкен қабырғасы 13-ке, ал периметрі 28-см-ге тең. Трапецияның ауданы 27-ге тең болса, оның қабырғаларын табыңдар.
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Объяснение:
Мектеп оқушыларының геометриялық есептерді нашар шығаратыны белгілі.Оның бірнеше себебі бар.Біріншіденгеометриялық есептер оқушылардан шығармашылық қасиеттерді талап етеді.Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмай тұр.
Жалпы геометрияда тіктөртбұрышты,ромбыны,квадратты параллелограмнан өрбітіп дамытады.Ал трапецияны « Екі қабырғасы параллель,ал былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция деп және оның параллель қабырғалары (а,в) табандары, ал былайғы екі қабырғасы (с,d) бүйір қабырғалары деп анықтама беріледі.Трапецияның үш түрі болатындығы айтылады.(1-сурет)
1-сурет
Жоғарыда айтылғандай трапецияны да тіктөртбұрышты,ромбыны,квадрат секілді параллелограмнан таратып, трапецияның параллелограмға ұқсас түрлерінен бастап, белгілі трапецияларды айтар болсақ, трапеция тақырыбының ауқымы арта түсері анық.
Осы орайда мектебімізде үйірме сабақтарында трапецияның оқулықтарда айтыла бермейтін түрлері мен қасиеттері үйретілген еді. Солардың бірі мынадай:
1-теорема.Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса,онда трапецияның орта сызығы биіктікке тең болады.
Дәлелдеуі:Трапецияның ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең.
∆АОВ,∆СОД-тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар АО2 +ОВ 2=а2,2АО2=a2
CO2+OD2=в2,2СО2 =в2. АД=ВС=
(*) формуласына қойсақ, онда
Трапецияның ауданы екеуін теңестіріп,бұдан
Теорема дәлелденді.
1.есеп №293 (B деңгей)
Бер:АВСД –тең бүйірлі трапеция.
АВ =24 см
ДС=40 см
АД┴ВС
т/к: SABCD
Шешуі:1 теорема бойынша МN=ВК
.S=32*32=1024см2
Жауабы: S=1024 cм22-теорема.Кез келген трапецияның екі табанының қосындысы оның диагоналдарының үлкен табанға түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: а+в= d11d12
Трапеция тең бүйірлі болғанда,оның диагональдары тең болатыны және диагональдарының үлкен табанға түсірілген проекциялары да тең болатыны белгілі. Трапецияның ауданын есептейтін формуласына қою арқылымына формула шығады.S= t*һ (1),мұндағы t- диагоналдың үлкен табанға түсірілген проекциясы, һ-трапецияның биіктігі.
2-есеп.Тең бүйірлі трапецияның диагоналы 10см-ге, ал ауданы 48см2-ге тең. Трапецияның биіктігін табыңдар
Берілгені: АС=10cм,S=48 см2
Табу керек:СН
Шешуі: ∆ ACN
AH=Оны (1) формулаға қойып,теңдігі шығады.Бұдан
(100-СН2)*СН2=2304,СН4-100СН2+2304=0
СН2=х деп алсақ,х2-100х+2304=0
Х=50
Х1=36,Х2=64.Яғни, биіктік 6см және 8см.
3-теорема.Кез келген трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы олардың үлкен табанға түсірілген проекцияларының квадраттарының сәйкес айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: d21-d22=(d11)2–(d12)2 (2)
3-есеп. Трапецияның табандары 5 пен 15-ке, ал диагоналдары 12 мен 16-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.
Берілгені:АС= 12, BD =16, BC=5, AD=15
Табу керек:S-?
Шешуі:Жоғарыдағы (2) қасиетті пайдалансақ BD2 – AC2= KD2 – AH2. Бұдан ( KD- AH) (KD+AH) = 256-144, ал (1) қасиет бойынша KD+AH=AD+BC, яғни KD+AH = 20.
Орындарына қойғанда KD- AH = 5,6 шығады KD = KH+HD, AH= KH+AK болғандықтан 5+ HD – 5 – AK = 5,6, HD – AK =5,6. Ал AK + HD =10
жүйесінен HD =7,8 табылады.
KD = 7,8 + 5=12,8.
BK2 = BD2 – KD2ВК = = 9,6Sтр ==96
4 – есеп.Тең бүйірлі трапецияның ең үлкен қабырғасы 13-ке, ал периметрі 28-см-ге тең. Трапецияның ауданы 27-ге тең болса, оның қабырғаларын табыңдар.
Берілгені: AD \\ BC, AB = CD, AD =13 P=28, S =27,
Табу керек.AB = CD, BC, AD