Дано, что в тетраэдре dabc ребро da перпендикулярно ребру bc. на рёбрах dc и db расположены серединные точки k и l.
докажи, что da перпендикулярно kl.
1. так как k и l — серединные точки dc и db, то kl cbd.
2. средняя линия стороне треугольника, то есть bc.
3. если da перпендикулярна одной из , то она
и другой прямой.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
Если нельзя применить теоремы синусов и косинусов, то, скорее всего, можно применить теорему Пифагора.
Пусть высота треугольника АВС из точки А равна Н.
Опустим из основания биссектрисы перпендикуляр h на сторону ВС.
Из подобия треугольников имеем h/H = 4/20 = 1/5,
По Пифагору находим:
Н = √(20² - (5/2)²) = √(400 - (25/4) = √(375/4) = 15√7/2.
Теперь получаем: h = (1/5)*(15√7/2) = 3√7/2.
Длину биссектрисы L тоже определяем по Пифагору.
Проекция её на ВС равна (5/2) + (4/5)*(5/2) = 9/2.
L = √((9/2)² + h²) = √((81/4) + (63/4)) = √(144/4 = √36 = 6.
ответ: длина биссектрисы равна 6.