Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона основания равна a = 10 ед, а боковое ребро L = 13 ед.
Находим: 1) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания; Это высота пирамиды H. Она равна: Н = √(13² - (10√2/2)²) = √(169 - 50) = √119 ед.
2) площадь боковой поверхности пирамиды; Находим аофему А = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12 ед. Периметр основания Р = 4а = 4*10 = 40 ед. Тогда площадь боковой поверхности равна: Sбок = (1/2)РА = (1/2)40*12 = 240 кв.ед.
3) площадь полной поверхности пирамиды; Площадь основания So = a² = 10² = 100 кв.ед. Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна: S = 240 + 100 = 340 кв.ед.
4) угол между боковым ребром и плоскостью основания; α = arc sin(H/L) = arc sin (√119/13) = 0,995685 радиан = 57,04854°.
5) угол между боковой гранью и плоскостью β = arc tg(H/(a/2)) = arc tg(√119/5) = 1,141021 радиан = 65,37568°.
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Находим:
1) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;
Это высота пирамиды H. Она равна:
Н = √(13² - (10√2/2)²) = √(169 - 50) = √119 ед.
2) площадь боковой поверхности пирамиды;
Находим аофему А = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12 ед.
Периметр основания Р = 4а = 4*10 = 40 ед.
Тогда площадь боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)40*12 = 240 кв.ед.
3) площадь полной поверхности пирамиды;
Площадь основания So = a² = 10² = 100 кв.ед.
Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна:
S = 240 + 100 = 340 кв.ед.
4) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
α = arc sin(H/L) = arc sin (√119/13) = 0,995685 радиан = 57,04854°.
5) угол между боковой гранью и плоскостью
β = arc tg(H/(a/2)) = arc tg(√119/5) = 1,141021 радиан = 65,37568°.